Niveau Maths sup

sous-anneaux et idéaux

Posté par
rouday_s 15-03-08 à 00:27

Bonsoir à tous !
J'ai un problème de maths assez long à faire qui comprend une quinzaine de démonstrations et d'applications directes de cours. Cela seule la première question me bloque! Pouvez vous m aider s il vous plait?
Soit A $\subset \mathbb{R}[X]$ un sous-anneaux de $\mathbb{R}[X]$ . A est un idéal de $\mathbb{R}[X]$ si et seulement si $\forall B \in A$ , $\forall$ P $\in \mathbb{R}[X],$ BP $\in A$ .
1) a) L'ensemble des polynomes pairs est il un idéal?
b) L'ensemble des polynomes qui s'annulent en 1 est il un idéal?
c)L'ensemble des polynomes dont le terme constant et le terme de degré 1 sont nuls est il un idéal?

J'ai bien compris la définition mais je ne vois pas comment faire pour ces exemples.
pour le 1) Doit on vérifier que 1 appartient à B et à P puis à A? Comment établir la stabilité?
merci de m expliquer comment proceder

Posté par re : sous-anneaux et idéaux 15-03-08 à 00:36

Bonjour,
il s'agit de traduire ce qui est écrit:

Pour tout élément de A (donc pour tout polynôme pair), et pour tout polynôme, leur produit est dans A (donc est pair).

Est-ce vrai ?

Posté par re : sous-anneaux et idéaux 15-03-08 à 01:04

Merci de me répondre a une heure aussi tardive otto
Pour tout élement de A (donc pour tout polynome pair) et pour tout polynome pair, leur produit est pair donc dans A
Mais pour tout élment de A (donc pour tout polynome pair) et pour tout polynome impair leur produit est impair. La relation n'est donc pas vrai ce n'est pas ca?

Posté par re : sous-anneaux et idéaux 15-03-08 à 13:36

Salut,

Citation :
Mais pour tout élment de A (donc pour tout polynome pair) et pour tout polynome impair leur produit est impair. La relation n'est donc pas vrai ce n'est pas ca?

Exactement. Autrement dit, ce n'est pas un idéal.

Citation :
b) L'ensemble des polynomes qui s'annulent en 1 est il un idéal?

Un polynôme de R[X] dont 1 est racine est factorisable par ... . Donc on peut cet ensemble comme ... engendré par ...
Autrement dit on a un ... .

Citation :
c)L'ensemble des polynomes dont le terme constant et le terme de degré 1 sont nuls est il un idéal?

L'ensemble des polynômes de R[X] vérifiant cette propriété c'est l'ensemble des polynômes de R[X] factorisable par ...
Cet ensemble c'est ... engendré par ... .

Je te laisse compléter les "...".

Ayoub.

Posté par re : sous-anneaux et idéaux 28-03-08 à 23:21

1) NON par exemple $X^2 \in P$ mais $X.X^2 = X^3 \notin P$

2)L ensemble des polynoes qui s'annulent en 1.
Oui : A(1) = 0 $\Longrightarrow \forall P \in \mathbb{R}[X]$ , (AP)(1) = 0
c'est encore l'ensemble des polynomes divisibles par (X-1) donc l'ensemble des multiples de (X-1), que l'on note $(X-1)\mathbb{R}[X]$

3)l'ensemble des polynomes dont le terme constant et le terme de degré1 sont nuls.
Oui : De même il s'agit de l'ensemble $X^2\mathbb{R}[X]$ des polynomes multiples de $X^2$ .
$X^2|A \Longrightarrow X^2|(AP)$ $\forall P \in \mathbb{R}[X]$

Posté par re : sous-anneaux et idéaux 29-03-08 à 07:26

Oui c'est bien ça.

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