Autour de Parseval
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Autour de Parseval
Posté le 15-03-08 à 01:39
Posté par 
H_aldnoer H_aldnoer
Bonsoir.
Voici l'énoncé d'un exercice dont je ne comprend rien!
Exprimez,)_k)
étant un élément de )
, en fonction de 
et de 
le spectre de la suite ![R^*[e]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?R^*[e])
.
Que faut-il faire exactement ?
Qu'est-ce qu'un spectre ?
H_aldnoer H_aldnoerBonsoir.
Voici l'énoncé d'un exercice dont je ne comprend rien!
Exprimez,
Que faut-il faire exactement ?
Qu'est-ce qu'un spectre ?
re : Autour de Parseval Posté le 15-03-08 à 02:53
Posté le 15-03-08 à 02:53Posté par otto otto
Bonjour,
effectivement ce n'est pas clair.
m_0 on sait pas ce que c'est.
Le chapeau est probablement la transformée de Fourier.
R*[e] on ne sait pas trop ce que c'est.
Le spectre de x est l'ensemble des éléments u tels que x-u.1 ne soit pas inversible.
otto ottoBonjour,
effectivement ce n'est pas clair.
m_0 on sait pas ce que c'est.
Le chapeau est probablement la transformée de Fourier.
R*[e] on ne sait pas trop ce que c'est.
Le spectre de x est l'ensemble des éléments u tels que x-u.1 ne soit pas inversible.
re : Autour de Parseval Posté le 16-03-08 à 11:38
Posté le 16-03-08 à 11:38Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Il est dit que le spectre de est la limite dans )
de la suite des classes de fonctions ![w\to \Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?w\to \Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw})
.
Mais je ne vois pas du tout ce que cela signifie.
H_aldnoer H_aldnoerIl est dit que le spectre de
Mais je ne vois pas du tout ce que cela signifie.
re : Autour de Parseval Posté le 16-03-08 à 12:14
Posté le 16-03-08 à 12:14Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Sans certitude aucune :
![(R^*[e])_k=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e_lh(k-2l)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?(R^*[e])_k=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e_lh(k-2l))
Je ne vois pas d'où toute ces relations viennent!
H_aldnoer H_aldnoerSans certitude aucune :
Je ne vois pas d'où toute ces relations viennent!
re : Autour de Parseval Posté le 16-03-08 à 12:16
Posté le 16-03-08 à 12:16Posté par kaiser kaiser 
re
et h, tu ne saurais pas ce que c'est ?
autre chose : où as-tu trouvé cet exo ?
Kaiser
kaiser kaiser re
et h, tu ne saurais pas ce que c'est ?
autre chose : où as-tu trouvé cet exo ?
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 16-03-08 à 12:22
Posté le 16-03-08 à 12:22Posté par H_aldnoer H_aldnoer
C'est les exercices que mon prof posent sur un serveur propre à notre université, il faut donc un identifiant pour se connecter!
h je ne vois pas ce qu'il vient faire ici.
H_aldnoer H_aldnoerC'est les exercices que mon prof posent sur un serveur propre à notre université, il faut donc un identifiant pour se connecter!
h je ne vois pas ce qu'il vient faire ici.
re : Autour de Parseval Posté le 16-03-08 à 12:33
Posté le 16-03-08 à 12:33Posté par kaiser kaiser
En fait, je crois que ça me dit quelque chose ces notations. Est-ce que les fonctions de Haar te disent quelque chose (tu as dû peut-être du voir ça quand vous vous intéressiez à des exemples de bases hilbertiennes) ? Pour ma part, j'avais vu ce genre de choses mais je ne sais plus exactement comment ça marche, alors j'ai regardé ton poly et je suis tombé sur cette fameuse fonction h (page 6) et ça me semble bien être ces fonctions de Haar.
Kaiser
kaiser kaiser En fait, je crois que ça me dit quelque chose ces notations. Est-ce que les fonctions de Haar te disent quelque chose (tu as dû peut-être du voir ça quand vous vous intéressiez à des exemples de bases hilbertiennes) ? Pour ma part, j'avais vu ce genre de choses mais je ne sais plus exactement comment ça marche, alors j'ai regardé ton poly et je suis tombé sur cette fameuse fonction h (page 6) et ça me semble bien être ces fonctions de Haar.
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 10:03
Posté le 17-03-08 à 10:03Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Reprenons, il manques une partit :
Soit,...,h(M)))
une suite de nombres réels (que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par 
) et :
e^{ikw})
le polynôme trigonométrique correspondant ( est donc la transformée de Fourier du filtre digital de réponse impulsionnelle la suite indexée par
}^0,...,\overb{h(M)}^M,0,...))
L'opération R qui à un signal d'entrée)_{k\in\mathbb{Z}})
de )
associe le signal )_{k\in\mathbb{Z}}\in l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}))
défini par =\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l))
pour 
Vérifiez que
Vérifiez que R est un filtre stationnaire cad un opérateur linéaire continu de dans invariant par translation.
Décrire l'opération R^* adjointe de l'opération R.
H_aldnoer H_aldnoerReprenons, il manques une partit :
Soit
le polynôme trigonométrique correspondant (
L'opération R qui à un signal d'entrée
Vérifiez que
Vérifiez que R est un filtre stationnaire cad un opérateur linéaire continu de
Décrire l'opération R^* adjointe de l'opération R.
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 10:03
Posté le 17-03-08 à 10:03Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Je ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par"
?
H_aldnoer H_aldnoerJe ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par
?
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 10:22
Posté le 17-03-08 à 10:22Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ensuite j'ai :
|^2\le ||h||_1^2||e||_2^2)
Puisque est dans , on a 
.
Mais je ne vois pas pourquoi
??
H_aldnoer H_aldnoerEnsuite j'ai :
Puisque
Mais je ne vois pas pourquoi
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 10:53
Posté le 17-03-08 à 10:53Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ensuite :
Il faut montrer que \to l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}))
est une application 
-linéaire continue du -espace de Hilbert dans lui même.
Pour la linéarité :
![R[(e(k))_k+(f(k))_k]=\Bigsum_{l}h(l-2k)[e(l)+f(l)]=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+h(l-2k)f(l)=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+\Bigsum_{l}h(l-2k)f(l)=R[(e(k))_k]+R[(f(k))_k]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?R[(e(k))_k+(f(k))_k]=\Bigsum_{l}h(l-2k)[e(l)+f(l)]=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+h(l-2k)f(l)=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+\Bigsum_{l}h(l-2k)f(l)=R[(e(k))_k]+R[(f(k))_k])
(on peut "couper" la somme ?)
![R[a(e(k))_k]=\Bigsum_{l}h(l-2k)[ae(l)]=a\Bigsum_{l}h(l-2k)[e(l)]=aR[(e(k))_k]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?R[a(e(k))_k]=\Bigsum_{l}h(l-2k)[ae(l)]=a\Bigsum_{l}h(l-2k)[e(l)]=aR[(e(k))_k])
si a est un complexe.
On a bien la linéarité.
Mais pour la continuité ?
H_aldnoer H_aldnoerEnsuite :
Il faut montrer que
Pour la linéarité :
On a bien la linéarité.
Mais pour la continuité ?
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 18:23
Posté le 17-03-08 à 18:23Posté par kaiser kaiser
salut
ça veut dire que l'on considère h comme une suite indicée par
en posant =0})
lorsque k est un entier relatif différent de 0,1,2 ...M.
parce que c'est une somme finie (tous les termes de ma somme sont nuls sauf un nombre fini)
oui, car les deux sommes convergent séparément.
voir ton message de 10h22
Kaiser
kaiser kaiser salut
Citation :
Je ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par " ?
Je ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par "
ça veut dire que l'on considère h comme une suite indicée par
Citation :
Mais je ne vois pas pourquoi
Mais je ne vois pas pourquoi
parce que c'est une somme finie (tous les termes de ma somme sont nuls sauf un nombre fini)
Citation :
(on peut "couper" la somme ?)
(on peut "couper" la somme ?)
oui, car les deux sommes convergent séparément.
Citation :
Mais pour la continuité ?
Mais pour la continuité ?
voir ton message de 10h22
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 18:30
Posté le 17-03-08 à 18:30Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Je ne saisi toujours pas!
H_aldnoer H_aldnoerCitation :
parce que c'est une somme finie (tous les termes de ma somme sont nuls sauf un nombre fini)
parce que c'est une somme finie (tous les termes de ma somme sont nuls sauf un nombre fini)
Je ne saisi toujours pas!
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 18:34
Posté le 17-03-08 à 18:34Posté par kaiser kaiser
|^{2}=\Bigsum_{k=0}^{M}|h(k)|^{2}})
car h(k)=0 dès que k n'est pas un entier naturel compris entre 0 et M.
Mais cette dernière somme ne comporte qu'un nombre fini de termes, donc cette somme est
.
Kaiser
kaiser kaiser car h(k)=0 dès que k n'est pas un entier naturel compris entre 0 et M.
Mais cette dernière somme ne comporte qu'un nombre fini de termes, donc cette somme est
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 19:31
Posté le 17-03-08 à 19:31Posté par kaiser kaiser
ouin car ce sont aussi des sommes finies : en effet, pour k fixé, h(l-2k)=0 si l-2k n'est pas un entier compris entre 0 et M (les entiers l tels que l-2k est un entier compris entre 0 et M sont en nombre fini).
Kaiser
kaiser kaiser ouin car ce sont aussi des sommes finies : en effet, pour k fixé, h(l-2k)=0 si l-2k n'est pas un entier compris entre 0 et M (les entiers l tels que l-2k est un entier compris entre 0 et M sont en nombre fini).
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 19:34
Posté le 17-03-08 à 19:34Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Donc c'est ainsi qu'est défini h ?
On regarde :
-si
dans ce cas \neq 0)
.
-sinon,=0)
.
H_aldnoer H_aldnoerDonc c'est ainsi qu'est défini h ?
On regarde :
-si
-sinon,
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 19:40
Posté le 17-03-08 à 19:40Posté par kaiser kaiser
voir mon message de 18h34
Sinon, pour ce que tu écris, c'est presque ça : lorsque h(l-2k) n'est pas forcément non nul lorsque l-2k est compris entre 0 et M. On sait seulement que h est nulle ailleurs.
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
Donc c'est ainsi qu'est défini h ?
Donc c'est ainsi qu'est défini h ?
voir mon message de 18h34
Sinon, pour ce que tu écris, c'est presque ça : lorsque h(l-2k) n'est pas forcément non nul lorsque l-2k est compris entre 0 et M. On sait seulement que h est nulle ailleurs.
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 19:46
Posté le 17-03-08 à 19:46Posté par kaiser kaiser
En résolvant la double inéquation : l-2k est compris entre 0 et M si et seulement si l est compris entre 2k et M+2k. À k fixé, il n'y a qu'un nombre fini de tels entiers.
Kaiser
kaiser kaiser En résolvant la double inéquation : l-2k est compris entre 0 et M si et seulement si l est compris entre 2k et M+2k. À k fixé, il n'y a qu'un nombre fini de tels entiers.
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 19:52
Posté le 17-03-08 à 19:52Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ok.
Ce qui implique alors que les sommese(l))
et f(l))
sont finies.
Ce sont des sommes finies donc convergentes, on regarde l'absolue convergence ?
H_aldnoer H_aldnoerOk.
Ce qui implique alors que les sommes
Ce sont des sommes finies donc convergentes, on regarde l'absolue convergence ?
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 20:02
Posté le 17-03-08 à 20:02Posté par kaiser kaiser
pas besoin, elle le sont automatiquement : on somme encore un nombre fini de termes non nuls, donc c'est clairement asbolument convergent
Kaiser.
kaiser kaiser pas besoin, elle le sont automatiquement : on somme encore un nombre fini de termes non nuls, donc c'est clairement asbolument convergent
Kaiser.
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 20:40
Posté le 17-03-08 à 20:40Posté par kaiser kaiser
oui (ensuite, c'est le même argument : dans la somme, les seuls termes qui sont non nuls sont des termes d'ordre l avec l-2k entre 0 et M et de tels entiers sont en nombre fini).
Kaiser
kaiser kaiser oui (ensuite, c'est le même argument : dans la somme, les seuls termes qui sont non nuls sont des termes d'ordre l avec l-2k entre 0 et M et de tels entiers sont en nombre fini).
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 20:47
Posté le 17-03-08 à 20:47Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ok!
Par contre j'ai obtenu|^2\le%20||h||_1^2||e||_2^2)
en utilisant Cauchy-Schwarz, Fubini-Tonelli et l'invariance par translation de la mesure de décompte.
C'est bien
et non 
?
H_aldnoer H_aldnoerOk!
Par contre j'ai obtenu
C'est bien
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 20:57
Posté le 17-03-08 à 20:57Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Pour montrer que
on regarde :
|=\Bigsum_{k=0}^M |h(k)|)
Il y a un nombre fini de termes dans la somme, d'où le résultat.
Ce qui implique que|^2<\infty)
et donc que 
et donc que )
H_aldnoer H_aldnoerPour montrer que
Il y a un nombre fini de termes dans la somme, d'où le résultat.
Ce qui implique que
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:21
Posté le 17-03-08 à 21:21Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Ensuite, pour R on a la linéarité mais en ce qui concerne la continuité, je ne vois pas comment procéder ?
H_aldnoer H_aldnoerEnsuite, pour R on a la linéarité mais en ce qui concerne la continuité, je ne vois pas comment procéder ?
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:25
Posté le 17-03-08 à 21:25Posté par kaiser kaiser
comme précisé plus haut, regarde ton message de 10h22 :
R est une application linéaire de)
dans et tu as montré que tout e, ||_{2}\le ||h||_1||e||_2})
donc ...
Kaiser
kaiser kaiser comme précisé plus haut, regarde ton message de 10h22 :
R est une application linéaire de
donc ...
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:29
Posté le 17-03-08 à 21:29Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Il existe une constante
telle que ||_2\le C||e||_2)
donc R est continue de norme au plus C ?
H_aldnoer H_aldnoerIl existe une constante
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:32
Posté le 17-03-08 à 21:32Posté par kaiser kaiser
toutafé ! Sauf qu'ici, h peut être nulle, donc C aussi (mais bon, on n'est pas obligé d'imposer la constante nulle pour avoir la continuité).
Kaiser
kaiser kaiser toutafé ! Sauf qu'ici, h peut être nulle, donc C aussi (mais bon, on n'est pas obligé d'imposer la constante nulle pour avoir la continuité).
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:47
Posté le 17-03-08 à 21:47Posté par kaiser kaiser
Je pense que ça veut dire ça :
La translation est l'opération linéaire qui à une suite)_{l\in \mathbb{Z}}})
associe la suite )_{l\in \mathbb{Z}}})
telle que pour tout entier l, 
. Notons 
cette opération de translation, alors il faut montrer que pour tout suite e, on a :
)=R(e)})
Kaiser
kaiser kaiser Je pense que ça veut dire ça :
La translation est l'opération linéaire qui à une suite
Kaiser
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:50
Posté le 17-03-08 à 21:50Posté par H_aldnoer H_aldnoer
kaiser, je viens de voir dans le cours quelque chose qui s'y rapproche :
peux tu y jeter un œil?
H_aldnoer H_aldnoerkaiser, je viens de voir dans le cours quelque chose qui s'y rapproche :
peux tu y jeter un œil?
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 21:57
Posté le 17-03-08 à 21:57Posté par kaiser kaiser
OK, je me suis trompé : en fait, la terminologie est un peu malheureuse mais on devrait plutôt dire que r commute avec les translations.
Avec les notations de mon message précédent, l'invariance par translation signifie plutôt :
)=\tau^{k_0}(R(e))})
pour tout entier 
: on se rend compte rapidement qu'il suffit de le montrer pour 
, c'est-à-dire : )=\tau(R(e))})
Kaiser
P.S : je dois m'absenter pendant un peu plus d'une demi-heure. Je reviendrai ensuite, si tu es encore là.
kaiser kaiser OK, je me suis trompé : en fait, la terminologie est un peu malheureuse mais on devrait plutôt dire que r commute avec les translations.
Avec les notations de mon message précédent, l'invariance par translation signifie plutôt :
Kaiser
P.S : je dois m'absenter pendant un peu plus d'une demi-heure. Je reviendrai ensuite, si tu es encore là.
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 22:18
Posté le 17-03-08 à 22:18Posté par H_aldnoer H_aldnoer
peux tu m'expliquer l'équivalence avec le cours stp je ne la vois pas ?
H_aldnoer H_aldnoerpeux tu m'expliquer l'équivalence avec le cours stp je ne la vois pas ?
re : Autour de Parseval Posté le 17-03-08 à 22:57
Posté le 17-03-08 à 22:57Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Dans le cours on prend \to l^1_{K}(\mathbb{Z}) \\ s\to h \star s)
avec ![h=\mathcal{L}[e_0]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?h=\mathcal{L}[e_0])
et _{k\in\mathbb{Z}})
.
Ici c'est R qui semble jouer ce rôle sauf que l'on travail sur ?
H_aldnoer H_aldnoerDans le cours on prend
Ici c'est R qui semble jouer ce rôle sauf que l'on travail sur
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