convergence de séries

Posté par adrien2465 adrien2465

ben je te l'ai deja prouve un tit peu plus haut ca ^^
Que cette condition soit suffisante et je fais comment pour fair ca?

Posté par Tigweg Tigweg

Ah bon?Je n'ai pas vu!

Pour la condition suffisante, tu dis simplement que .

Or V2n converge vers b (puisqu'elle est constante à b) et V2n+1 vers a, donc si b=a alors V2n et V2n+1 convergent vers la même limite, donc Vn aussi, si a différent de b, alors V2n et V2n+1 ne convergent pas vers la même limite, donc Vn ne converge pas!

Là c'est réglé!

Posté par adrien2465 adrien2465

ha daccor en fait ces ce que j'avai écri mais je ne savais pas que c'était ca la condition suffisante^^
j'ai encore deux ou trois truc à te demander j'ai fai descalculs et je vudrais vérifier en fait la deuxieme question ces de calculer la racine enieme de Un pour appliquer Cauchy et montrer que si ab diferrent de 1 alors la regle de cauchy nous permet d'etudierla serie de terme general un...

Il faut dont que je montre que lalimite de la racine enieme de Un est inferieur strictement a 1 et superieur o egale a 0 pour ab different de 1?
Je peux donc utilise la meme technique que pour la question d'avant?

Posté par Tigweg Tigweg

Oui en distinguant les cas n pair et n impair.

Posté par adrien2465 adrien2465

ouais je pose donc Vn=racine enieme de Un et donc V2n est la racineme eniee de U2n et apres pareil pour V2n +1?

Posté par adrien2465 adrien2465

jtrouve donc pour V2n = ab et V2n+1 = ab^((n+1)/n)
ces bon?

Posté par Tigweg Tigweg

Non, U2n=a^n.b^n donc V2n vaut la racine carrée de ab.

Pour U2n+1, reviens à la définition de la puissance par logarithme et exponentielle.

Posté par adrien2465 adrien2465

ben a^n x b^n = (axb)^n et la racine enieme de ca c'est bien ab non?

et pr V2n+1 je trouve a x b x b^(1/n)??

Posté par Tigweg Tigweg

Non.


->C'est faux, c'est la racine (2n) ème de U2n.

Posté par adrien2465 adrien2465

ha mais oui oui tt a fait oui il est pas tres facile cet exercice j'arrete pas de membrouiller!!


J'ai trouve racine de ab ces bon alors
pou V2n+1 = a^(n/(n+1)) x b^((n+1)/(2n+1)) mais alors je sais pas ca me parait complique!!

Posté par Tigweg Tigweg

Posté par Tigweg Tigweg

Pour V2n+1, pardon

Posté par adrien2465 adrien2465

j'y suis deja revenu mai je ne vois pas a quoi je dois aboutir!!

Posté par Tigweg Tigweg

A une limite élémentaire, mon cher ami!

Utilise que ln(AB)=ln(A)+ln(B) dans l'exposant, puis que n/(2n+1) tend vers une limite toute simple!

Posté par adrien2465 adrien2465

ha non mais d'accord on parlait pa de la meme chose attends je te donne ma vraie réponse^^
n / (2n+1) ca ver 1/2 donc apres quelques bricolages je crois ke je retrouve racine de ab lol ces bon?

Posté par Tigweg Tigweg

Yes, perfect!

Posté par adrien2465 adrien2465

ha ben voila enfin lol du cou les termes pairs e impairs ont meme limite doncla racine enieme de Un a a pour limite racine de ab et pour repondre a ma question(si ab different de 1 ces possible d'utilser cauchy pour etuider la serieu de terme general Un) il suffit quje dise que si ab est different de 1 alros forcement limite racine nieme de Un est superieur ou inferieur a 1 et que suivant les valeurs de a e b la serie diverge ou converge?

Posté par Tigweg Tigweg



->Sa limite plutôt!



->Exactement!

Posté par Tigweg Tigweg

Oups petit bug

Posté par adrien2465 adrien2465

pas de pb^^

bon ben tant mieux mon exo etait pa si faux que ca^^

Tant que j'ysuis je verifie mes dernieres reponses
on me demande pour quelles valeurs de a et b la regle de d'Alembert permet-elle d'étudier cette serie?

Alors comme réponse à cette question j'ai personnellement que Un+1/Un a une limite seulement si a=b donc on peut utiliser la regle de d'Alembert dans tous les cas sauf si a = b = 1? Pour les autres valeurs de a et b on trouve forcement lim superieur ou inferieur a 1 donc que la serie converge ou diverge?ces ca?

Posté par Tigweg Tigweg

Pas tout-à-fait.



seulement si a=b < 1.




->On trouve que la limite de Un+1/Un n'existe pas si a différent de b ce qui ne veut pas dire que la série ne converge pas mais juste qu'on ne peut pas conclure par D'Alembert!

En revanche,si la limite de Un+1/Un existait et était strictement supérieure à 1 (ou valait 1+, petit clin d'oeil à Camélia) alors on pourrait conclure que la série diverge.

Avec Cauchy on a des résultats plus précis puisqu'il y a bien plus de couples (a,b) tels que que de couples (a,b) tels que a=b<1

Posté par adrien2465 adrien2465

mais si a=b > 1 on peut conclure en disant que la serie diverge non ?? pareil pour cauche si racine de ab est superier a 1 alors la serie diverge?


Enfin ma dernier question ces :  cette fois ci on considere ab = 1 alors du coup on ne peut plus conclure avec Cauchy ni D'alembert puis les deux limites sont egales a 1 et on me demande de dire si la serie de tg Un converge ou non ?

Moi j'aurais dit que vu que ab = 1 on a U1=a et U2=1 ontrouv aussi que U2n=1 et donc U2n+1=b. Pour que la serie de termer general Un converge il faudrait que lim Un = 0 or cest impossible vu U2n = donc la serie diverge si ab=1??

Posté par Tigweg Tigweg



->Tout-à-fait, je ne parlais que des cas où elle converge.Dans tous les cas c'est Cauchy qui dit le plus de choses.



->Impec! (juste précise que si U2n=1 pour tout n, c'est que Un admet une sous-suite qui tend vers autre chose que 0, donc qu'elle ne peut pas converger vers 0, donc que la série de t.g. Un diverge nécessairement.)

Posté par adrien2465 adrien2465

yahoo alors en fait j'avais pas rate tant que ca mon exerice^^

Posté par Tigweg Tigweg

Euh t'avais quand même du mal avec les indices!

Posté par adrien2465 adrien2465

ben ouais mais hormis les indices ^^ J'ai toujours eu du mal pour manier les indices et en fait ds ques j'ai repris une feuille plus correcte ca a roule tout seul parce que tu aurais vu ma feuille.....^^

Posté par Tigweg Tigweg

OK

Posté par adrien2465 adrien2465

oh non je suis casse pied mais j'ai encore une question:
est ce que Un = n^n / ( (n+1)(n+2)....(n+n) ) quand on utilise d'alembert Un+1 sur Un ca fai bien :
1/2 x ( (n+1)/n )^n x ( (n+1)²/( (2n+1)(n+1) ) )
??

Posté par Tigweg Tigweg

J'ai comme toi mais sans facteur 1/2 devant.

Posté par Tigweg Tigweg

Ah si pardon, j'avais pas vu que t'avais mis n+1 et pas 2n+2 en bas, donc on a pareil.

Posté par adrien2465 adrien2465

daccor cool j'ai bon alors ces super merci bcp encore

Posté par Tigweg Tigweg

Je t'en prie

Posté par adrien2465 adrien2465

c'est encore moi si une suite de terme Un converge et quelle es a temes positifs est ce que la suite de terme general Un² converge aussi?

Posté par Tigweg Tigweg

Un² est une sous-suite de Un, à ce titre elle converge vers la même limite que Un, peu importe le signe de Un.

Posté par adrien2465 adrien2465

c'est une sous suite meme si c'est au carré??(j'ai pas vu ca en coursc'est pour ça)

Posté par Tigweg Tigweg

Une sous-suite c'est une suite indexée par une fonction strictement croissante de n.

n² est une fonction strictement croissante de n donc c'est bon!

Moralement tu regardes si les indices ne font qu'augmenter jusqu'à l'infini.
Si oui ça te dit quels sont les indices des termes que tu vas garder.