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Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 09:34

Bonjour à tous!

Kevin->Avec plaisir!

Ayoub->Salut!

Citation :
Tu vas devenir un monstre en algèbre.


->Mais dis-donc toi tu en es déjà un par contre!!

Tu as étudié Galois cette année?
En tout cas tu me parais avoir énormément progressé dans plein de domaines des maths depuis l'an passé!

Explique nous ton secret!

Posté par
lolo217
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 10:03

J'ajoute que toute cette théorie permet de solutionner (oui c'est pas français !) 3 problèmes majeurs de l'antiquité , qu'on trouve dans le papyrus de Rhind (le plus vieux manuscript de mathématiques vers
-1600  ...et dont l'auteur précise que les problèmes remontent au Babyloniens vers  - 2400  ...) :

a) on ne peut construire à la régle et au compas le tiers d'un angle arbitraire (la trisection de l'angle)
b) on ne peut construire un cercle de surface égale à celle d'un carré donné
(la quadrature du cercle ...modulo la transcendance de établie par Lindemann en 1882)
c) on ne peut construire l'arête d'un cube de volume double d'un cube donné.

et aussi :
d) on peut décider exactement quels sont les polygônes réguliers constructibles à la règle et au compas

Tous ses résultats on servi aussi de motivations.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 10:11

Salut lolo217

Oui c'est vrai, c'est pas plus mal un petit préambule historico-culturel.

Citation :
solutionner (oui c'est pas français !)


->Mais si, ça existe bien!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:38

Bonjour

Citation :
Je crois aussi que tu as vu cette définition "rapidement" (sic!).
Non parce que si le groupe de Galois de l'extension ne dépend pas de l'extension, je vois pas trop l'interêt.


Salut vieux

Avec mes notations K est l'extension du corps k.

Greg > Oui c'est un monstre en algèbre notre Ayoub ! Il doit se balader en cours

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:40

Yes, I think so!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:41

Merci aussi lolo, il y a un chapitre réservé aux nombres constructibles dans le bouquin, mais chaque chose en son temps

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:41

Ca avance au fait ton état de décomposition avancée, Kevin?

Faut en passer par là avant d'espérer une régénérescence!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:47

Ben là je prends mon p'tit dej et après j'ai des DM à commencer donc je reprendrai plus tard

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:48

Quel programme!

Bon app' Kevin!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:53

Merci :D

Posté par
Ksilver
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:56

"Le polynôme x^5-10x+5 n'est pas résoluble par radicaux " ca je sais oui, ce que je disait c'est qu'il me semble qu'il est possible de prouver cela directement sans faire de théorie de Galois par un calcule relativement incompréhensible, mais que ca ne doit pas etre trés intéressant (mais on ma dit plusieurs fois que c'etait possible... et d'ailleur Abel la fait quelques années avant que les résultats de Galois soit publié)

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 11:58

Ksilver, encyclopédie mathématique vivante.

Posté par
lolo217
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:00

effectivement Robert cite le "solutionner" tant mieux, merci

Posté par
1 Schumi 1
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:03

Ok Ksilver j'avais mal compris.

Greg >> Salut! Ben faut bien progresser non en un an?  Sinon...

Kévin >> Oups alors. Je croyais que c'était k l'extension.

Oh que non: je ne balade pas vraiment en DL...

Posté par
1 Schumi 1
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:10

Citation :
on peut décider exactement quels sont les polygônes réguliers constructibles à la règle et au compas

Pas tant qu'on ne connaîtra pas tous les nombres premiers de Fermat! A moins que ce problème ne soit plus ouvert...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:11

Y a progresser et progresser en même temps!
Là c'est carrément un bond en avant mesemble-t-il!J'imagine que tu as un super prof de maths dans ta prépa, non?

Posté par
1 Schumi 1
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:13

Il est (très) sympa  et (très) fort mais tout ce que je sais faire en algèbre, c'est sur l'île que j'ai appris (Toi, Camélia, Rodrigo, lolo...). Il approuve pas vraiment ce que je fais en algèbre m'enfin bon il tolère.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:16

D'accord!C'est vrai que ce qui aide le plus reste l'implication personnelleIl aime pas trop ce que tu fais en algèbre en-dehors du programme de prépa, ou ta façon de rédiger l'algèbre en DS ou DM?

Posté par
1 Schumi 1
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:16

Les deux!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:18

C'est sûr que si tu réponds "Trivial" à la moitié des questions il peut le prendre mal

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 12:21

Ok!!Oui, c'est clair Kevin!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 28-03-08 à 23:09

Bonsoir

Je m'attaque aux groupes résolubles, je laisse quelques notes et je demande des précisions quand je comprends pas

Citation :
Soit G un groupe.

(i) Si 3$ \rm x,y\in G on appelle commutateur de x et y l'élément 3$ \rm xyx^{-1}y^{-1}

(ii) Le groupe dérivé de G, noté D(G) est le sous groupe de G engendré par les commutateurs d'éléments de G

(iii) On appelle suite dérivée de G la suite 3$ \rm (D^n(G))_{n\ge 0} de sous-groupes de G définie par !

3$ \rm \{D^0(G)=G\\D^{n+1}(G)=D(D^n(G))


Citation :
Soit K un sous groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) 3$ \rm D(G)\subset K

b) Le sous-groupe K est distingué dans G et G/K et abélien.


Démonstration : Soient 3$ \rm x,u,v\in G et 3$ \rm y\in K

Si 3$ \rm D(G)\subset K alors 3$ \rm xyx^{-1}=(xyx^{-1}y^{-1})y\in K donc K distingué. (OK)

De plus 3$ \rm uv=(uvu^{-1}v^{-1})vu ce qui prouve que G/K est abélien. (Pourquoi ?)

Merci

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 28-03-08 à 23:20

Salut Kevin!

uvu-1v^-1 = k est un commutateur donc un élément de D(G), donc de K par hypothèse.

L'égalité écrite équivaut donc à uv=k.vu , d'où uv.K=vu.K .

Or uv.K est la classe de (uK).(vK) et vu.K est celle de (vK).(uK).

Ces deux classes coïncident donc pour tous u et v, ie G/K est abélien.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 28-03-08 à 23:27

Remarque bien que, K étant distingué, les classes à gauche selon K sont égales aux classes à droite.

J'aurais pu détailler un peu plus en disant que l'égalité

uv=k.vu signifie que uv\in K.(vu)=(vu).K.


Or de façon générale, si K est un sous-groupe distingué d'un groupe G, il y a équivalence entre les assertions:

g\in hK et gK=hK . (g et h quelconques dans G)

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 28-03-08 à 23:35

Salut Greg mon sauveur

Je suis d'accord on a uv = k.vu et de même vu = k'.uv. Pour les classes tout ce que je sais c'est que si K est un sous-groupe de G alors aK = {ab ; b € K} et Ka = {ba ; b € K}. Et ici comme K est distingué on a égalité des deux ensembles.

Après j'ai pas trop compris la suite uv.K = vu.K ?

Merci

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 28-03-08 à 23:37

Posts croisés

Tu peux détailler de même les deux dernières lignes ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 28-03-08 à 23:50

Pas de problème!

Si g\in hK alors gK\subset hK clairement.

De plus on a aussi g=hk pour un certain k, ce qui s'écrit aussi h=gk^{-1} soit h\in gK. Il vient donc de même hK\subset gK ce qui règle l'implication g\in hK\Longrightarrow gK=hK.



La réciproque s'obtient tout simplement en utilisant que 1\in K ce qui implique g\in gK=hK.

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:01

Oups excuse moi je voulais dire ces deux lignes là :

Citation :
Or uv.K est la classe de (uK).(vK) et vu.K est celle de (vK).(uK).

Ces deux classes coïncident donc pour tous u et v, ie G/K est abélien.


Mais ça ne m'a pas fait de mal que tu détailles ton dernier post

Merci !

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:08

Lol ok!


Quand K est distingué, on montre (en deux lignes, tu les veux aussi?) que pour tous u et v dans G, le produit

(u.k).(v.h) est indépendant du choix de k et h dans K.


C'est cette remarque là qui permet de définir le produit des classes uK et vK par :


(uK).(vK)=uv.K

Ceci explique la première ligne.


Pour la seconde, dire que G/K est abélien signifie que le produit de deux éléments quelconques de G/K ne dépend pas de l'ordre de la multiplication.
Or les éléments du quotient G/K sont justement de la forme uK avec u dans K!


OK?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:10

Citation :
le produit

(u.k).(v.h) est indépendant du choix de k et h dans K.


-> Je me suis mal exprimé: c'est bien entendu la classe de ce produit qui est indépendante du choix de k et h dans K.

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:13

D'accord j'ai compris

Je crois qu'il serait bon que j'approfondisse déjà tout ce qui est sous-groupe distingué et groupe quotient qu'en penses-tu ? C'est nécessaire tout ça pour la théorie de Galois au moins ?

J'ai l'impression d'être à des kilomètres du théorème que je veux démontrer

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:17

Citation :
Je crois qu'il serait bon que j'approfondisse déjà tout ce qui est sous-groupe distingué et groupe quotient qu'en penses-tu ?


->En voilà une idée qu'elle est bonne!!



Citation :
C'est nécessaire tout ça pour la théorie de Galois au moins ?


-> C'en est l'un des points cruciaux, sinon le plus important!!


On quotiente A MORT les groupes en théorie de Galois!

Cela dit, y a encore bien des choses abstraites à maîtriser...

Courage, Kevin!!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:22

Ok alors avant d'aller plus loin je vais bosser ça parce que c'est pas clair dans ma tête

En fait ce qu'il me faudrait c'est une liste des choses que je devrais voir au fur et à mesure, tu pourrais m'indiquer les étapes à suivre ?

Sous-groupes distingués et groupe quotient OK mais y'a des choses avant ? et pour me faire une idée de la suite après je devrai voir quoi ?

Merci beaucoup pour le coatching

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:27

Avec plaisir

Citation :

Sous-groupes distingués et groupe quotient OK mais y'a des choses avant ?


->Je n'en vois pas, cela me semble en effet être la première étape à bien maîtriser!


Pour la suite, je dirais groupes simples (au sens mathématique) puis relèvement (ou extension d'un groupe par un autre), comme ça t'en auras fini avec les groupes.

Je suppose évidemment que tu connais bien Sn, An et Lagrange!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:29

Cela dit j'aurai du mal à te coacher sérieusement jusqu'au bout, KEvin!

C'est que ça commence à remonter pour moi, tout ça!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:30

Ah oui d'accord déjà là j'étais pas bien organisé j'ai déjà vu vite fait les extensions de corps avant celles de groupes

Ok ben il n'y a plus qu'à relever ses manches

Je te laisse tranquille pour ce soir je vais potasser dans mon coin ^^

Encore merci et bonne nuit

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:32

Si j'atteins le bout un jour...

J'ai confiance et puis dans tous les cas tu as plein de choses à m'apprendre

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:41

Citation :
Ah oui d'accord déjà là j'étais pas bien organisé j'ai déjà vu vite fait les extensions de corps avant celles de groupes


->Oui c'est vrai que c'était un peu culotté !, mais en même temps on voit un peu mieux dans les corps, y a des polynômes, des degrés d'extension etc...

Citation :
Ok ben il n'y a plus qu'à relever ses manches


->Ca, oui!!!

Citation :
J'ai confiance et puis dans tous les cas tu as plein de choses à m'apprendre


->C'est gentil, mais à condition que je m'en rappelle!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:42

Bonne nuit Kevin!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 00:43

En fait j'ai voulu faire comme Camélia m'avait suggéré : prendre le problème de front mais c'est au pied du mur...qu'on voit mieux le mur

Donc je vais être raisonnable et je vais voir les bases

A bientôt !

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 01:07



Tu es courageux, Kevin, je suis sûr que tu y arriveras!

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 01:08

Mais vous n'allez pas dormir?

Tigre>> je vois vraiment que tu dors pas, comment tu fais? :t'es un robot ?


Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 01:24

J'allais me coucher monrow!En fait je n'ai pas pu me connecter de la journée entière, je me ratrappe un peu!

Mais je vois que ces constatations t'enlèvent le sommeil à toi aussi!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 01:24

rattrape*

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 01:26

j'ai cours jusqu'à 10 h demain et puis je serai en vacances demain même !

Allez bonne nuit

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 01:28

OK, tu pourras dormir alors!Bon début de vacances!

Posté par
1 Schumi 1
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 07:23

Citation :
Pour la suite, je dirais groupes simples (au sens mathématique) puis relèvement (ou extension d'un groupe par un autre), comme ça t'en auras fini avec les groupes.


Quand on dit en math qu'un groupe est simple, ça veut dire en fait qu'il est très compliqué.

Greg >> T'as oublié les revêtement aussi, comme ça ti lui fais faire aussi de la topo.

(Non je plaisante, c'est pas vraiment nécessaire ces monstruosités là)

Kéké >> Le plus dur, c'est franchement les extensions de corps. Les démos sont vraiment lourdes et pas plaisante du tout à lire. (Mais c'est fondamentale, on peut rien faire sans). Mais une fois ça fini, le plus dur sera derrière toi. Après en Galois, les propositions, les démos... sont bien plus digérables.

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 12:24

Ok merci vieux

A bientôt

Posté par
Tigweg Correcteur
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 14:00

Ayoub> Tu connais aussi la théorie de Galois?
Mais quand as-tu eu le temps de progresser autant cette année?!
Y a pas de filles à la Réunion ou quoi?!

Posté par
infophile
re : [TIPE] Clôture algébrique 29-03-08 à 14:03

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