Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 203 : M*a*s*h

Bonjour,

A la fin de sa tournée d'inspection d'un hopital militaire un général remarque les faits suivants :

- les trois-quarts des patients ont perdu un œil.
- les deux-tiers ont perdu un bras.
- les quatre cinquièmes ont perdu une jambe.

Il se pose alors la question suivante :

Y a t-il forcément un soldat ayant perdu un oeil, un bras et une jambe et si oui, quelle fraction (au minimum) de l'ensemble des patients représentent ceux qui sont dans cette situation ?

Heureusement que les patients ont affaire à une fine équipe :




Bonne réflexion.

minkus

J'aurais tendance à dire qu'il y en a car :

3/4 + 2/3 + 4/5 = 45/60 + 40/60 + 48/60

Il y a chaque fois plus de la moitié donc je pense bien que oui.

Le minimum doit être : 1/6 des soldats qui sont dans cette situation

Il y a forcément des soldats ayant perdu un oeil, un bras et une jambe.
Ils représentent au minimum  1/12 de l'ensemble des patients

Il y a 1/4 des patients qui ont leurs 2 yeux, 1/3 des patients qui ont leurs deux bras et 1/5 des patients qui ont leurs deux jambes.
Il y a donc au maximum, 1/4+1/3+1/5=47/60 des patients qui ont au plus deux infimités.
Il y a donc au minimum 13/60 des patients qui ont les 3 infirmités à la fois.

bonjour minkus,

Je pense qu'effectivement il existe bien au moins un soldat qui ai tout perdu et que les  soldats dans sa situation représentent au minimum de l'ensemble des patients.

Un quart (15/60)a encore deux yeux, un tiers (20/60) deux bras et un cinquième (12/60) deux jambes. Si ces trois ensembles sont disjoints, le complément au tout représente (60-15-20-12)/60=17/60, fraction minimale représentant ceux cumulant les trois invalidités

il y a 45/60 personnes qui sont blessées à l'œil et 40/60 personnes blessées au bras,
si on additionne ces 2 fractions,
on a (45+40)/60 ou autrement : 60/60 + 25/60. Il y a donc 25/60 personnes qui sont blessées à la fois à l'œil et au bras.

C'est à dire que seulement 35/60 personnes n'ont qu'une blessure.

Or 48/60 personnes ont une blessure à la jambe.

si tous ceux qui ont une seule blessure ont une blessure à la jambe en plus
(48-35)/60 = 13/60 => 13/60 personnes ont 3 blessures
Il y a donc au moins 13/60 personnes qui sont blessées à la fois à l'œil, au bras et à la jambe !

Bonjour à tous !
Voici ma réponse :

  3         4        31
¯¯¯  + ¯¯¯ = ¯¯¯¯  > 1
  4         5        20

  2         4        22
¯¯¯  + ¯¯¯ = ¯¯¯¯  > 1
  3         5        15

  3         2        17
¯¯¯  + ¯¯¯ = ¯¯¯¯  > 1
  4         3        12

Donc il y a forcément un soldat ayant perdu un oeil, un bras et une jambe.

                                         17              5
La fraction minimale est : ¯¯¯ - 1 =  ¯¯¯
                                         12             12

Merci pour l'égnigme !

Bonjour

Jolie énigme !

Ma réponse est oui il y a forcément au moins 13/60 des patients  qui ont perdue à la fois une jambe, un oeil et un bras.

Merci pour l'énigme .

Salut!

Au moins 23/60 des gens ont perdu un oeil, une jambe et un bras.

@+ et merci pour l'énigme!

Bonjour,

je tente :

pour répondre à cette énigme, j'ai du un peu "bricoler" une solution. En additionant les fractions données, on obtient donc j'ai pris un intervalle d'amplitude 60 et j'y place trois intervalles d'amplitudes respectives 40, 45 et 48 de telle sorte qu leur intersection soit minimale (quel rigueur! ): Je place d'abord les plus grand intervalle (45 et 48) aux deux extrémités de l'intervalle initial pour obtenir une intersection minimale d'amplitude 33. Enfin, je place le dernier intervalle (40) du côté où la différence entre l'intervalle initial et l'un des deux plus grands est la plus grande, de telle sorte à avoir une intersection minimale des trois intervalles. Finallement, je trouve une intersection d'amplitude 25 donc la fraction demandée est

(ça sent le )

merci pour l'énigme

Bcracker

bonjour
j'utilise la formule de Poincaré
soit:
E l'ensemble des blessés
X le cardinal de E
B l'ensemble des blessés ayant perdu un bras
O....................................un oeil
J....................................une jambe
X=card (BOJ)
(B0)E (1)
card(B)+card(0)=(2/3+3/4)X=(17/12)X=>card(B0)(5/12)X d'aprés (1)
de même
card(0)+card(J)=(3/4+4/5)X=(31/20)X=>card(0J)(11/20)X
et
card(B)+card(J)=(2/3+4/5)X=(22/15)X=>card(BJ)(7/15)X
donc
card(B)+card(0)+card(J)-card(B0)-card(0J)-card(JB)
(3/4+2/3+4/5-5/12-11/20-7/15)X=(47/60)X
card(BO(X-(47/60)X)
card(BOJ)(13/60)X
il y a donc des blessés ayant perdu un oeil,un bras et une jambe  leur pourcentage est au minimun 13/60
sauf erreur de ma part
d'aprés les données X est divisible par 4,5 et 3 donc par 60 et (13/60)X est bien un nombre entier

merci pour ce défi

bonjour,

47/60

Bonsoir,

au moins 1/3 des soldats a perdu un oeil, un bras et une jambe.

5/60=1/12
au minimum 1/12 des patients ont perdu un oeil, un bras et une jambe.

Bnjour Minkus.
13/60 des patients ont perdu à la fois un oeil, un bras et une jambe

sur 60 patients, 45 ont perdu un oeil, 40 un bras et 48 une jambe, en tout 133 amputations.

Si tous ont subi exactement deux amputations, il y en a 13 de moins; il faut remplacer 13 doubles mutilés par 13 triples amputés pour retrouver le nombre.

Supposons qu'un nombre déterminé n'aient qu'une amputation et/ou qu'un nombre déterminés ne soient pas amputés du tout et que tous les autres aient exactement deux amputations; il y aurait plus de 13 amputations en moins par rapport au nombre réel; pour le rétablir, on ne peut pas remplacer des non amputés ou des simples amputés, puisque cela toucherait à la supposition. Il faut donc remplacer des doubles amputés par des triples amputés, en augmentant le nombre de 1 à chaque fois, donc plus de 13 fois

Avec le minimum de 13 triples amputés, on a :
12 patients amputés d'un oeil et d'un bras seulement;
20 patients amputés d'un oeil et d'une jambe seulement;
15 patients amputés d'un bras et d'une jambe seulement;
13 patients amputés d'un oeil, d'un bras et d'une jambe.

Post-scriptum
Une version du problème avec des élèves qui choisissent un ou plusieurs sports aurait été beaucoup plus sympathique !

Notons o la proportion de soldats ayant perdu leur oeil, b pour le bras et j pour la jambe. On a :
o = 3/4
b = 2/3
j = 4/5

On cherche une configuration dans laquelle le nombre de patients ayant perdu les trois organes soit minimal.

En partant de l'oeil, on sait que 1/4 des soldats ont encore leur oeil (1 - 3/4 = 1/4). On va tous leur enlever un bras pour qu'il y ait le moins possible de borgnes manchots.
Ainsi, il reste 2/3 - 1/4 = 5/12 manchots qui sont forcément aussi borgnes.
Plus algébriquement, on a b - (1 - o) = b + o - 1 borgnes-manchots.

On a donc 1 - (b + o - 1) pourcentage de soldats qui n'ont perdu qu'un de ces deux organes, soit 2 - o  - b.
De nouveau, dans un soucis (peu moral ?) de minimisation de l'accumulation des tares, on enlève une jambe à tous ces chanceux, et le reste nous donnera le pourcentage de pauvres hommes ayant perdu à la fois l'oeil, le bras et la jambe.

Après simplification, cela nous donne o + b + j - 2.
On remarque que, dans cette expression, o, b et j sont interchangeables. Donc on aurait obtenu la même valeur en commençant par s'intéresser aux bras ou aux jambes.

Il y a donc bien un pourcentage minimal de patients ayant perdu à la fois un oeil, un bras et une jambe et cette proportion vaut :
o + b + j - 2 = 3/4 + 2/3 + 4/5 - 2 = 13/60

Si les trois-quarts des patients ont perdu un œil alors 1/4 n'a pas perdu d'œil.
Si les deux tiers ont perdu un bras alors 1/3 n'a pas perdu de bras
Si les quatre cinquièmes ont perdu une jambe alors 1/5 n'a pas perdu de jambe.

Alors au maximum (1/4 n'a pas perdu d'œil) OU (  1/3 n'a pas perdu de bras) OU ( 1/5 n'a pas perdu de jambe ) , ce qui représente 1/413+1/5=47/60

Et le contraire c'est-à-dire ceux qui, au minimum, ont perdu un œil ET un bras ET une jambe représente 1-47/60=13/60=21.66%

Bonjour
3/4=45/60
2/3=40/60
4/5=48/60
On cherche combien de personnes (en fraction de 60) au maximum peuvent avoir au maximum 2 handicaps
On le trouve dans la configuration ci-dessous. Donc il y en a au maximum 60-45+60-40=35

Et les 48-35=13 restants auront les 3.

La réponse est donc : il y a au minimum une fraction de 13/60 de tri-handicapés.

C'est moche la guerre.

C'est encore une patate, représentant l'hôpital, que je partage en 7 chambres contenant  les 7 sortes d'amputés.
J'écris des égalités, des inégalités..
J'arrive à la conclusion:

Il y a au moins 13/60 de soldats qui ont perdu un oeil, un bras et une jambe .

Je vérifierai mes calculs demain.

Alea jacta est!  

Bonjour,

il y en a 13/60, sauf erreur ou étourderie

Merci pour l'énigme

Hello,

2 manière de procéder, toutes deux basées sur le fait que les événements O(borgne), B(manchot) et J(unijambiste) sont indépendants.

La première :
probabilité que le patient soit vraiment malchanceux !

La deuxième passe par l'étude de tous les cas possibles, bref on arrive au même résultat ^-^ (qui, j'espère, n'est pas si faut que ça )


Morale : faites l'amour pas la guerre ~

Bonjour,

Il y a forcément un soldat ayant perdu un oeil, un bras et une jambe. Les patients dans cette situation représentent au minimum 13/60 de la totalité des patients.

Merci pour l'énigme.

Bonjour!

Je justifie ici la réponse que j'ai donnée dans mon précédent courrier.

Soit x,y,z le nombre de patients ayant subi respectivement  3,2 ou 1 amputations et s le nombre total de patients.
On a déjà:   x+y+z<=s.(1)
Le nombre d'amputations pratiquées est 3x+2y+z et c'est aussi la somme des trois sortes d'opérations, donc
3x+2y+z=(3/4)s+(2/3)s+(4/5)s=(133/60)s. (2)

En comparant (1) et (2), on voit que
2x+y>=(73/60)s.(3)

le nombre de patients ayant perdu 1 bras et 1 jambe mais gardé leurs 2 yeux est <= (1/4)s.
En ajoutant avec les 2 inégalités analogues, on voit que y<=(47/60)s. (4)

En comparant (3) et (4), on obtient 2x>=26/60 donc
x>=(13/60)s.

Ce n'est pas terminé, car on a procédé par conditions nécessaires.
Ce sera terminé si l'on exhibe une configuration possible avec x=(13/60)s.
Considérons donc le cas où tous les patients ont subi au moins 2 amputations. Il n'y a alors que 4 lots de patients comportant respectivement les fractions du total:
1/4,1/3,1/5 et 13/60 et toutes les contraintes sont vérifiées.

La fraction attendue est donc bien 13/60

Bonjour à tous,

La fraction minimale demandée serait: .

En dessinant des patates (je vous épargne mes talents de graphiste ), on constate aisément qu'il ne peut y avoir des gens qui n'ont pas perdu à la fois un œil et un bras:
3/4+2/3 > 1.
Il y a donc (3/4+2/3) - 1 = 5/12 des effectifs (au minimum) dans cette catégorie.

Même raisonnement en y incluant les monojambes : 4/5+5/12 > 1
Au total (5/12+4/5) - 1 = 13/60

Il y a donc au minimum 13/60è des effectifs ayant perdu à la fois un bras, un œil et une patte...

OUI  13/60  au minimum
A+
Torio

Salut minkus

1/4 n'a pas perdu d'oeil
1/3 n'a pas perdu de bras
1/5 n'a pas perdu de jambe

Donc il y a au maximum des soldats qui n'ont pas tout perdu, donc des soldats au moins ont perdu un oeil, un bras et une jambe (les pauvres)

Oui, il y en a qui ont tout perdu (oeil, bras et jambe)et je dirais qu'il s'agit des des soldats.

Bonjour,

45/60 des patients ont perdu un œil.
40/60 des patients ont perdu un bras.
48/60 des patients ont perdu une jambe.

15/60 des patients n'ont pas perdu d'œil, c'est-à-dire que, si ces 15 là ont perdu un bras, il restera 25/60 des patients qui ont perdu un bras et un œil. (au moins)
Il y a donc 35/60 des patients qui n'ont pas perdu un bras et un œil.
Si ces 35 là ont perdu une jambe, il restera au moins 13/60 des patients qui ont perdu un œil, un bras et une jambe.


Merci pour cette énigme.

En appliquant 4 fois la formule de Poincaré, on voit que le nombre des patients qui ont perdu un oeil, un bras et une jambe est au moins les 13/60 du total des patients.

Malheureusement OUI.
La fraction minimum de soldats cumulant tous les maux de la guerre est de 13 pour 60.

On a 45/60 des patients qui ont perdu un oeil. On a aussi 40/60 des patients qui ont perdu un bras. Soit au minimum 25/60 qui ont perdu un oeil et un bras. Enfin 48/60 ont perdu une jambe, soit donc au minimum 13/60 des patients qui ont perdu les trois(oeil,bras et jambes)...
Remarque:Il y a donc forcément un soldat ayant perdu les trois...

Le nombre de patients ayant perdu un oeil, un bras et une jambe est x/4,615384615
avec x repèrente le nombre total de patients.

Bonjour,

Il y a forcément un soldat ayant perdu un oeil, un bras et une jambe.
Il y en a même au moins 13, plus précisément une fraction de 13/60.

_{sauf distraction...}

A+,
gloubi

Bonjour
voila une énigme assée connue non?
pour minimiser, je dois supposer le pire :
1/4 ont encore leurs yeux
1/3 ont encore leurs bras, mais ont perdu un oeil
1/5 ont encore leurs jambes, mais ont perdu oeil et bras
ceux ayant tout perdu sont donc
1 - 1/3 - 1/4 - 1/5 =
(60 -20 -15 -12) / 60 =
13 / 60
Merci
Mathieu

Bonjour,

J'ai fait un petit dessin ci-dessous pour comprendre mon raisonnement :
Une fois qu'on a casé les cyclopes et les manchots avec le moins de recouvrement possible, on case les unijambistes dans les "espaces" qui restent pour avoir le moins de tri-estropiés possibles.

Il reste malgré tout au moins 13/60è des patients qui ont perdu à la fois un œil, un bras et une jambe.

oui, il y en a au moins un, et 13/60 de ces gens ont tous les handicaps.

Bonsoir,

Je dirais qu'au moins des patients ont perdu à la fois un oeil, une jambe et un bras.

coucou,
et bien malheureusement, oui il y a des patients qui auront perdu à la fois une jambe, un bras et un oeil.
il y a au minimum 2/5 des patients dans ce cas

salut

Hum sans certitude ... je crois qu'il y a forcément un soldat qui ait perdu un bras, un oeil et une jambe et que la fraction de l'ensemble des soldats qui sont au minimum dans cette situation est de 13 soixantième.

Bonjour,

Pour moi , il y a forcément une fraction de soldat qui a perdu un œil, un bras et une jambe:
Les trois-quarts des patients ont perdu un œil , il reste donc 1/4 avec un œil.
Les deux-tiers ont perdu un bras , il reste donc 1/3 avec un bras.De ces 2/3 il y a 1/4 de soldats avec un œil.Donc 2/3 - 1/4 = 5/12 ont perdu 1 œil et 1 bras.
Les quatre cinquièmes ont perdu une jambe, il reste donc 1/5 avec une jambe.
Des 5/12 il faut déduire 1/5 pour avoir la fraction de soldat qui a perdu un œil, un bras et une jambe soit 13/60.

La fraction au minimum de l'ensemble des patients ayant perdu un œil, un bras et une jambe est 13/60.

5/12 au minimum

Bonjour,

La réponse est : oui, il y a 13/60 des patients (au mini) qui ont 3 blessures.

on met tout au même dénominateur (60) ce qui donne :
45/60 qui ont perdu un oeil
40/60 qui ont perdu un bras
48/60 qui ont perdu une jambe

Le principe est d'affecter les blessures aux personnes au fur et à mesure en privilégiant celles qui n'ont rien puis celles qui ont le moins, si on résonne sur 60 :
48 ont perdu une jambe donc il reste 12 personnes "à blesser"
=> 45 ont perdu un oeil : on peut en avoir 12 avec uniquement cette blessure et il y en aura 33 avec un oeil ET une jambe en moins, donc, il y a 27 personnes avec une seule blessure (peut importe laquelle...).
Il nous reste 40 personnes "à blesser" : 27 auront 2 blessures et il en reste donc 13 avec 3 blessures.

7/60éme ont les trois status

si mais calcule sont bon alors 9/12 des solda ont forcément perdu un oeil, un bras et une jambe  

Ma première participation ^^
D'abord, oui il y a au moins un soldats qui a perdu un oeil une jambe et un bras :
xxxxxxxxxxxxxxx-----    (x= a perdu un oeil)
-------xxxxxxxxxxxxx    (x=a perdu un bras)
xxxxxxxx----xxxxxxxx    (x=a perdu une jambe)
on voit bien qu'un soldat au moins a perdu une jambe (il n'y a pas de colonne sans croix)

Pour la fraction minimale :
3/4 ont perdu un oeil et 2/3 un bras donc il y en a au minimum 3/4 - 1/3 ie 5/12 qui ont perdu les deux.
De ceux-la, au minimum 5/12 - 1/5 ont perdu les trois c'est a dire 13/60
Voilà !

Bonjour,

La fraction minimale de borgnes manchots unijambistes sur l'ensemble des patients est .
Les horreurs de la guerre...

Merci Minkus, et A+, KiKo21.

Oui, il y en a dans cette situation.
Il y a au minimum 2/3 des soldats qui sont dans cette situation.