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probabilité et polynome de Bernstein


autreprobabilité et polynome de Bernstein

#msg1739670#msg1739670 Posté le 17-03-08 à 19:10
Posté par Profilrobby3 robby3

Bonsoir tout le monde,
dans cette exercice c'est le passage d'une égalité que je saisi pas...

Soit f une application continue sur [0,1] et (X_n)_n une suite de var independantes suivant la loi de Bernouilli B(x) ou x\in [0,1].

=>Montrer que E\(f\(\frac{1}{n}.\Bigsum_{k=1}^{n}X_k\)\) converge vers f(x) quand n tend vers l'infini.
En déduire que la suite de polynomes (B_n)_n définie par:
B_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n}).C_n^k.x^k(1-x)^{n-k} pour x\in [0,1] converge simplement vers f sur [0,1].

En fait je fais sans probleme le début mais le en déduire...?
dans la correction ils mettent
Comme \Bigsum_{k=1}^{n}X_k suit la loi binomiale B(n,x) (ça ok),on voit que E\(f\(\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n X_k\)\)=B_n(x)
moi je vois rien!
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739713#msg1739713 Posté le 17-03-08 à 19:26
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

re robby

c'est une simple application du théorème de tranfert (celle qui étant donnée une variable aléatoire réelle Y et une fonction continue f, permet d'exprimer Ef(Y) en utilisant la loi de Y).

Kaiser
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re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739758#msg1739758 Posté le 17-03-08 à 19:37
Posté par Profilrobby3 robby3

re
euhh le theoreme de transfert?

je vois pas du tout comment tu l'applique là?
tu peux expliciter un tout petit peu s'il te plait?
E(f(Y)) en principe ça va donner l'integrale de f*densité de Y.
en fait ce qui me gene c'est le f(\frac{k}{n})
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739790#msg1739790 Posté le 17-03-08 à 19:44
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

En fait, regarde ça plutôt comme \Large{E(f_{n}(Y))}, Y suivant la loi binômiale B(n,x) et \Large{f_{n}(t)=f(\frac{t}{n})}.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739820#msg1739820 Posté le 17-03-08 à 19:50
Posté par Profilrobby3 robby3

ah oui!!
non mais j'avais zappé le 1/n devant!!
Ok c'est bonn j'ai pigé!
Merci encore Kaiser!

Ultime question de la soirée si tu as 1minute de plus
Pourquoi \frac{1}{\epsilon^2}E\(\(\frac{S_n}{n}-E(Y_1)\)^2\)=\frac{1}{\epsilon^2.n^2}Var(S_n)

j'ai développé et moi j'ai
\frac{1}{\epsilon^2}.E\((\frac{S_n}{n})^2-2\frac{S_n.E(Y_1)}{n}+(E(Y_1))^2\)
meme par linéarité de l'espérance(car indépendance des trucs dedans)...j'arrive pas à ce qu'il faut?
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739823#msg1739823 Posté le 17-03-08 à 19:52
Posté par Profilrobby3 robby3

est-ce que E[1]=0.?
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739846#msg1739846 Posté le 17-03-08 à 20:00
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
est-ce que E[1]=0.?


non ça vaut 1 (l'espérance d'un constante c'est la constante elle-même).

Par contre, dans ton message de 19h50, ne développe surtout pas : l'espérance est linéaire donc, à cause du carré, le n sort au carré.

Autre chose : c'est quoi \Large{S_n} et c'est quoi \Large{Y_1} ?

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739858#msg1739858 Posté le 17-03-08 à 20:06
Posté par Profilrobby3 robby3

Ah oui...

S_n=\Bigsum_{k=1}^n Y_k
et Y_n=X_n.X_{n+1}
les X_n sont indépendants et de meme loi tel que E(X_1^2)<+\infty
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739927#msg1739927 Posté le 17-03-08 à 20:34
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

OK, dans ce cas :

1) par définition, quelle est l'expression de \Large{Var(S_n)} ?
2) calcule \Large{E(S_n)} et déduis-en ton égalité.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739929#msg1739929 Posté le 17-03-08 à 20:34
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oups :

pour le 2), calcule cette espérance en fonction de \Large{E(Y_1)}.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739941#msg1739941 Posté le 17-03-08 à 20:40
Posté par Profilrobby3 robby3

Var(S_n)=E[S_n^2]-E[S_n]^2
 \\ E[S_n]=??

en fait le calcul de Var(S_n) ça viens dans une question aprés...
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739960#msg1739960 Posté le 17-03-08 à 20:47
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Mais on ne va pas la calculer explicitement ici, donc pas de problème.

et sinon, pour le calcul de l'espérance ( il faut utiliser la linéarité de l'espérance)

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739962#msg1739962 Posté le 17-03-08 à 20:49
Posté par Profilrobby3 robby3

la linéarité de l'espérance mais les Y_n ne sont pas indépendants entre eux!
ou ça n'a rien à voir?
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739969#msg1739969 Posté le 17-03-08 à 20:54
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

la linéarité de l'espérance est toujours vraie (c'est quand même une intégrale, ne l'oublie pas).

on a toujours E(X+Y)=E(X)+E(Y) quelles que soient les variables aléatoires réelles X et Y.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739970#msg1739970 Posté le 17-03-08 à 20:54
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

C'est pour le produit qu'il y a quelque chose.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1739979#msg1739979 Posté le 17-03-08 à 20:59
Posté par Profilrobby3 robby3

ok,autant pour moi
donc E[S_n]=E[\Bigsum_{k=1}^{n}Y_k]=\Bigsum_{k=1}^{n}E[Y_k]...là par contre tu me dis de calculer ça en fonction de E[Y_1]
mais les Y_n étant dépendants,on n'a pas que c'est égale à n.E(Y_1)

sinon je poursuis j'ai \Bigsum_{k=1}^{n}\(E[X_k].E[X_{k+1}]\)
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740015#msg1740015 Posté le 17-03-08 à 21:21
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Si justement, c'est bien égale à n fois cette espérance.
En effet, comme les couples \Large{(X_i,X_{i+1})} ont même loi car les \Large{X_i} ont même loi (il suffit de l'écrire) alors les \Large{Y_i=h(X_i,X_{i+1})} (avec h(u,v)=uv) ont même loi.
Du coup, toutes ves variables ont même espérance.

Cela dit, tu peux poursuivre avec ton dernier calcul : Les \large{X_i} ont même loi donc même espérance.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740082#msg1740082 Posté le 17-03-08 à 21:42
Posté par Profilrobby3 robby3

ah oui d'accord,tout ça vient du fait qu'elles ont meme loi!
ok ça fait n.E(Y1).
on a donc:
E[S_n]=n.E[Y_1]
 \\ E[S_n^2]=E[\Bigsum_{k=1}^n {Y_k}^2]=\Bigsum_{k=1}^n E[{Y_k}^2]=n.E[{Y_1}^2] ??
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740106#msg1740106 Posté le 17-03-08 à 21:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

il y a une bug, le carré de la somme, ça n'a jamais été (sauf exception) la somme des carrés.


Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740133#msg1740133 Posté le 17-03-08 à 21:58
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je dois m'absenter pendant un peu plus d'une demi-heure. Je reviendrai ensuite, si tu es encore là.

Kaiser
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740141#msg1740141 Posté le 17-03-08 à 22:02
Posté par Profilrobby3 robby3

oublions 21:42.


je reprends mon développement de 19:50...
j'ai donc 5$ \rm E\((\frac{S_n}{n})^2-2\frac{S_n.E(Y_1)}{n}+(E(Y_1))^2\)=\frac{1}{n^2}E[{S_n}^2]-E[Y_1]^2=\frac{(E[S_n^2]-n^2.E[Y_1]^2)}{n^2}=\frac{Var(S_n)}{n^2}
c'est bon,c'est fini?
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740146#msg1740146 Posté le 17-03-08 à 22:03
Posté par Profilrobby3 robby3

ok Kaiser,je crois qu'on a terminé
Bonne fin de soirée!
Et encore une fois MERCI!
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740230#msg1740230 Posté le 17-03-08 à 22:44
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Mais je t'en prie !
eh oui, c'est fini !

cela dit : tu pouvais ne pas tout développer car on a aussi \Large{V(S_n)=E((S_n-E(S_n))^2)} (cette formule est vraie pour n'importe quelle variable aléatoire. D'ailleurs, c'est même la définition)
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740245#msg1740245 Posté le 17-03-08 à 22:50
Posté par Profilrobby3 robby3

oui je l'ai vue dans mon bouquin mais trop tard!!
on était déjà parti dans les calculs(qui me font pas de mal )
Mais dans notre cours le prof ne l'a pas évoqué comme celà...Tans pis,j'en aurais deux définitions et je sais montré que c'est pareil

Merci encore et bonne fin de soirée!
Pour ma part je vais dormir
re : probabilité et polynome de Bernstein#msg1740255#msg1740255 Posté le 17-03-08 à 22:52
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

OK, bonne nuit !

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