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Système libre
Bonsoir,
J'ai un petit souci avec un exercice.Voici l'énoncé :
Soit l'espace vectoriel R^3.
Dire ds chaque cas si le système de vecteurs données est libre, est générateur de R^3.
Donc j'ai par exemple :
S={(1,2,3);(1,-4,2);(3,0,8)}
J'ai trouvé que ce système était libre est ce juste ?
Merci d'avance.
Salut infophile ! ton système est juste. (ca donne la meme chose : une matrice à le meme rang que sa transposé...) mais tu dois manquer pti truc pendant le calcule.
"Ca nous donne a=b=c=0 tout de meme non ?" ba non, le système est pas libre je t'ai dit !
par exemple
b=1
a=2
c=-1
est solution.
salut 
Et je trouve que ce n'est pas générateur de R^3.
Normal, si c'était générateur, ce serait libre
En effet.Comme ce n'est pas générateur je dois déterminer une base du sev que le système engendre. (1,2,3) est une famille libre et génératrice je peux donc en déduire que 'est une base de Vect S. C'est juste svp ?
Démontrer quoi? que c'est pas générateur? C'est simple ici, tu prends le vecteur (1,-4,2) (qui est bien dans Vect(S) puisqu'il est dans S), comment l'obtiens-tu à partir de (1,2,3) ? Ca risque d'être un peu difficile non?
Eh bah, dans ta famille génératrice, tu as un vecteur qui est combinaison linéaire des autres. Qu'à cela ne tienne, on peut donc le supprimer. Il nous reste deux vecteurs. Ils ne sont pas colinéaires (on vient de le dire) et générateurs. Ils forment donc une base.
Vect(S) est donc le plan vectoriel de base ((1,2,3),(1,-4,2))
Salut
Ksilver > Non les deux dernières lignes de mon système étaient fausses 
Jord >
Normal, si c'était générateur, ce serait libre
Pourquoi ? Dans ce cas générateur impliquerait base..
Je commence les ev et tout, soyez indulgents
Kevin > Parce qu'on est dans un espace de dimension 3 (dimension = cardinal de toutes les bases)
On a le résultat suivant :
Soit E un ev de dimension n et F une famille à p éléments. Alors les 2 des propositions impliquent la 3ème :
(1) p = n
(2) F est libre
(3) F est génératrice.
Re.
J'ai par exemple :
{(1,-2,1);(1,0,0);(0,2,-1);(1,1,1)}
Si je montre que (1,0,0)-(1,-2,1)=(0,2,-1), ca suffit pour dire que ce n'est pas libre ? Car j'ai essayé en passant par un système mais ca ne m'amène à rien d'interessant...
Merci.
Salut Nightmare et Joffrey25.
Joffrey-> Oui ça suffit, ta relation équivaut à dire, en rebaptisant ta famille, que
ce qui est une relation de liaison non triviale pour cette famille.
Elle est donc liée.
Coucou Tigweg. Ok merci bien. Et en ce qui concerne la base on a : Vect(S) est donc le plan vectoriel de base ((1,-2,1),(1,0,0),(1,1,1). C'est bien cela ?
Merci.
Pas de quoi.
Cela suffira si tu prouves que la famille {(1,-2,1),(1,0,0),(1,1,1)} est libre, sinon elle ne peut pas être une base de l'espace qu'elle engendre.
De plus on aura un sous-espace de dimension 3 dans un espace de dimension 4, cela s'appelle un hyperplan.
(Le mot plan est réservé aux sous-espaces de dimension 2 d'un espace de dimension n).
Tigweg
Oui en effectuant le système j'obtiens d'une part que -2a+c=0 et que a+c=0 donc a=c=0 et on a a+b+c=0 donc b=0. C'est bien cela ?
Entrapercu.
Je vais la retravailler et j'ai un souci je vous poserai des questions si ca ne vous dérange pas trop...
Bonsoir, que veux-tu dire?
Pour prouver que la dimension vaut 3 il faut justement trouver 3 vecteurs libres (vu que l'espace n'est pas de dimension 4).
Ok merci. Donc pour démontrer que c'est bien libre il faut trouver 3 vecteurs libres sur les 4 et on peut dire que c'est de dimension 3. Vous pourriez me donner la solution avec le déterminant svp ? Car nous n'avons pas encore beaucoup abordé cette notion et j'aimerais bien en savoir un peu plus. Merci.
Donc pour démontrer que c'est bien libre il faut trouver 3 vecteurs libres sur les 4 et on peut dire que c'est de dimension 3.
-> Non c'est pour prouver que c'est de dimension 3.
Sais-tu développer un déterminant selon une rangée (ligne ou colonne)?
Alors tu écris le déterminant de la famille des trois vecteurs {(1,-2,1),(1,0,0),(1,1,1)} et tu essaies, tu trouveras une valeur non nulle.
Ah ok. C'est tout bete en fait. Et comme c'est différent de 0, ce n'est pas libre. Merci.Mais pour 4 vecteurs on peut le faire ?
Non c'est le contraire!
Comme c'est non nul, la famille est libre!
Un déterminant est nul ssi la famille est liée.
En prenant le déterminant des 4 vecteurs on trouverait un déterminant nul, la famille de dépar étant liée.
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