Pour information, j'ai essayé de prouver qu'il existait un produit de d'éléments de A qui serait multiple de p mais j'ai pas aboutis

Bonjour,

p  est premier à 10  donc il existe  k  le plus petit tel que
  10^k=1  modulo p  alors 1,10,...10^k-1  décrivent le sous-groupe de (Z/pZ)*  engendré par la classe de 10.

donc  1+10+...+10^k-1 +....+  10^k(p-1)+...+ 10^k(p-1)+k  est congru à  0   modulo  p  (il s'agit de répéter  p  fois le même groupe de  k  termes )

Bonjour lolo217 merci de m'avoir répondu

J'ai du mal à comprendre ta réponse:

Donc p étant premier et différent de 2 et 5 il est premier avec 10........ Ok
On applique le (petit) théorème de Fermat : 10^(p-1)= 1 [p].......Ok

Par contre la suite je comprends plus, pourrais-tu détailler stp ?

Bonjour,

Je pense que le dernier terme de la somme de lolo217 est plutôt 10^k(p-1)+k-1=10^kp-1.

De toute façon, ici, il suffit simplement d'appliquer le petit théorème de Fermat : ,

et de constater que p divise 10^p-1-1=999....9=9*111....1

(la fin du raisonnement précédent suppose p3, mais 3 divise 111)

oui  la réponse de Blang suffit (en fait parfois on peut faire mieux que p-1 mais ça nécessite un zeste de connaissance sur le groupe (Z/pZ)*  des inversibles modulo p )

Très bien merci à vous deux j'ai bien compris le raisonnement de blang

mais j'aimerais comprendre la méthode avec les (Z/pZ)*:

sauf erreur Z/pZ est un corps de caractéristique p

est-ce sur celà que s'appuie cette méthode ?

Bon j'essaie d'expliquer ma méthode (effectivement trop compliquée comme signalé par blang) :

Si  G  est un groupe fini de cardinal  n  alors pour tout  x  dans  G il existe un plus petit entier  k >0  (divisant n)  tel que  x^r=e  (où   e  est le neutre de G)
on dit que  r  est l'ordre de x . Alors  x  engendre un sosu-groupe de G de cardinal  r  exactement : e, x,..., x^r-1

Ici (Z/pZ)* = le groupe à  p-1 éléments des inversibles modulo  p . Comme  10  est premier à  p  par hypothèse alors il existe k l'ordre de 10 (classe de 10  modulo p  si on veut être précis) tel que  10^k=1  (évidemment  k  divise  p-1 et donc la congruence est aussi vrai avec p-1) .

Maintenant le groupe engendré par  10  est  1,10,...,10^k-1  si maintenant on multiplie tous ses nombres par  10^k  alors on obtient exactement les même classes modulo  p .Donc
1+10 +...+ 10^k-1 =  a  modulo  p  entraîne
1+10+...+  10^{k-1 + k}   =  2a  modulo p
on continue  de la même manière jusqu'à obtenir
1+...+ 10^{k-1 +k(p-1)}  =  pa  modulo p c'est à dire 0 modulo p.

Très bien j'ai compris. mis à part une chose.

Comment se sert-on du fait que p est premier à 10 pour en déduire l'existence d'un k qui soit l'ordre de 10 ? si p n'était pas premier avec 10 ca poserait quel problème ?

oui  si  p  n'était pas premier à 10  sa classe modulo p  ne serait pas dans  (Z/pZ)*  , en effet  p = 2 ou  5  entraîne que 10 = 0  dans Z/pZ .

Merci beaucoup lolo j'ai bien compris