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Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:07

oui mais celle parcourant tout \Large{\mathbb{Z}} est également finie (toujours à cause de h)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:15

Donc :
\Bigsum_{u\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(u)}e^{-iuw}=\Bigsum_{u=0}^M\bar{h(u)}e^{-iuw} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:15

oui

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:16

Donc on obtient :
\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{u=0}^M\bar{h(u)}e^{-iuw}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:17

et donc ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:18

Ce n'est pas vraiment m(u) si ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:19

Je voulais dire m_0(w)

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:21

c'est presque ça : il faut au moins prendre le conjugué.
Par contre, en parlant de ça : tu peux me confirmer l'expression de \Large{m_0} (dans l'exponentielle, il y a un signe "moins" ou pas ?)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:23

Dans l'énoncé il est écrit :
m_0 : w\to \Bigsum_{k=0}^M h(k)e^{-ikw}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:27

OK, bah du coup, cette somme vaut quoi en fonction de \Large{m_0} ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:28

En fait tu voulais écrire :
\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{u=0}^M\bar{h(u)}e^{-iuw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\bar{\Bigsum_{u=0}^M h(u)\bar{e^{-iuw}}}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\bar{\Bigsum_{u=0}^M h(u)e^{iuw}

?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:28

Donc \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{u=0}^M\bar{h(u)}e^{-iuw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\bar{m_0(w)}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:29

oui.
là, tu dois pouvoir identifier les deux sommes.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:29

Identifier quelles sommes ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:31

Citation :
Identifier quelles sommes ?


Cf ton premier message de 23h28

Pour ton second message de 23h28 : tu peux encore reconnaitre quelque chose.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:37

\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\bar{m_0(w)}=\bar{m_0(w)}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}

\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw} est presque le spectre de e mais bon ici e est dans l_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{Z}) ; ce spectre correspond au spectre d'un élément de l_{\mathbb{C}}^1(\mathbb{Z}) non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:46

c'est la remarque je faisais tout à l'heure : cette somme n'as pas forcément d'existence point par point (e n'est pas supposé sommable). Cette somme doit se voir au sens \Large{l^2}.
Quand on le voit comme ça (avec la définition), on se rend compte que c'est exactement le spectre de e au point 2w.

Sinon, au début, c'est \Large{\bar{m_0(-w)}} et non pas \Large{\bar{m_0(w)}}.

Maintenant, reste à justifier tout ça.
En ce qui me concerne, je m'arrête là pour aujourd'hui pour allez
donc bonne nuit !


Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:51

Bonne nuit kaiser!

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:52

Sinon, je ne vois pas pourquoi on parle de spectre ici étant donné que nous sommes sur l^2 !

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 19-03-08 à 23:53

si e était dans l^1 son spectre au point 2w correspond à \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}.
mais dans l^2 ce sont des classes de fonctions non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 09:17

Citation :
Sinon, je ne vois pas pourquoi on parle de spectre ici étant donné que nous sommes sur \Large{l^2} !


Encore une fois, tout est dans le poly (page 63).
Plus précisément, on définit la transformée de Fourier d'un élément de \Large{l^1} et ensuite on la prolonge sur \Large{l^2} par densité de \Large{l^1\bigcap l^2} dans pour la norme 2 (en fait, on a mieux : l'ensemble des suites de support fini, c'est-à-dire, dont les termes non nuls sont en nombre fini, est dense).
Par contre, la somme infinie n'a plus de sens (c'est à ça que je faisais allusion quand je disais que la somme n'a pas de sens ponctuellement) mais elle en a dans \Large{L^2(\mathbb{T})} (plus précisément la série converge dans \Large{L^2(\mathbb{T})})

message de 23h53 :

oui (mais comme dit précédemment, la somme a un sens, si on dit qu'elle converge dans \Large{L^2(\mathbb{T})}).
Pire encore, lorsque l'on passe de \Large{l^1} à \Large{l^2}, on perd de la régularité : dans \Large{l^1}, le spectre définit une fonction continue, mais dans \Large{l^2}, comme dit précédemment, la série ne converge pas forcément point par point).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 09:19

Cela dit :

\Large{\widehat{e}(2w)} a toujours un sens dans \Large{L^{2}(\mathbb{T})}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 10:32

Bonjour kaiser.
Donc pour revenir sur le point du cours :
On prend s=(s(k))_{k\in\mathbb{Z}} dans l_{\mathbb{C}}^1(\mathbb{Z}). Le spectre de s est la fonction continue, 2\pi périodique sur \mathbb{R} à valeurs complexes en général \hat{s} : w\in\mathbb{R} \to \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}s(k)e^{-ikw}.
Ici tout marche, car on a convergence normal :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|s(k)e^{-ikw}|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|s(k)|=||s||_1<+\infty puisque s\in l_{\mathbb{C}}^1(\mathbb{Z})

Pourquoi on définit pas à l'identique :
s=(s(k))_{k\in\mathbb{Z}} dans l_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{Z})
\hat{s} : w\in\mathbb{R} \to \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}s(k)^2e^{-ikw}

?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 10:57

Après j'ai vraiment du mal sur la rédaction.
La définition nous donnes la quantité \lim_{N\to%20+\infty}%20\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}|\hat{s}(w)-(\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}\)|^2dw%20=0

On regarde une somme particulière de cette quantité :
\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}

On a :
(R^*[e])_k=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)

Donc :
\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}=\Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}

On remarque :
\Bigsum_{k=-N}^{N}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{k=-N}^{N}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}  car \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}|=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|\bar{h(k-2l)}e(l)| \\ à cause du h, c'est une somme finie donc convergente.

Donc :
\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{k=-N}^{N}\bar{h(k-2l)}e(l)e^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N}^{N}\bar{h(k-2l)}e^{-i(k-2l)w}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=0}^{N}\bar{h(u)}e^{-iuw}

Ici j'ai un problème : que dire de N et M ?
Pour obtenir m_0(w) il faut sommer jusqu'à M !

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 18:36

message de 10h32 :

On ne peut pas définir ça comme tu le fais pour deux raisons :

1) parce que c'est comme ça, et donc on ne va pas s'amuser à changer la définition !
2) parce qu'il faut quand même que les deux définitions de la transformée de Fourier coïncident lorsque la suite appartient à \Large{l^1\bigcap l^2}

message de 10h57 :

Je ne suis pas d'accord avec ta dernière égalité : tu as , semble-t-il, fait un changement de variable, mais à ce moment là, la somme sur k va de -N+2l à N+2l.

Bref, je rappelle ce que l'on doit montrer est (d'après ce que l'on a trouvé de manière pas rigoureuse)

\Large\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}|\bar{m_{0}(-w)}\widehat{e}(2w)-(\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}\)|^2dw%20=0

Au passage, peux-tu me dire me confirmer si oui ou non c'est bien ça, avant que l'on s'aventure à montrer des choses fausses.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 19:32

Bonsoir.
Donc ici les deux définitions coïncidents lorsque la suite appartient à l^1_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z})\bigcap l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}).

Oui donc au final on trouve :
\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N+2l}^{N+2l}\bar{h(u)}e^{-iuw}

La somme \Bigsum_{k=-N+2l}^{N+2l}\bar{h(u)}e^{-iuw}=\Bigsum_{k=0}^{N+2l}\bar{h(u)}e^{-iuw}
Mais toujours le même problème en haut : on somme jusqu'à M pour avoir m_0 non ?

Puis \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)}=\hat{e}(2w).

Jusqu'ici je suis Ok!

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 19:39

En fait ça me chagrine toujours.
Si e est dans l^1 alors ok \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)}=\hat{e}(2w)
mais ce n'est pas le cas ici!

Je ne vois pas ce qui justifie l'égalité \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)}=\hat{e}(2w).

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 20:56

Tout d'abord, je me suis trompé : la somme va de -N-2l à N-2l.

Cela dit, il n'est pas vrai que cette somme soit égale à la somme entre 0 et N-2l (car N-2l peut très bien être strictement négatif)

Bref :

Citation :
Mais toujours le même problème en haut : on somme jusqu'à M pour avoir m_0 non ?


ça tu ne peux pas.
c'est seulement lorsque N va tendre vers l'infini que chaque terme, au bout d'un certain temps, va être à égal à la somme entre 0 et M (mais ce ne sera le même N pour tous les termes)

Citation :
Je ne vois pas ce qui justifie l'égalité \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)}=\hat{e}(2w)


Cette égalité est à comprendre au sens de \Large{L^{2}(\mathbb{T})}

Plus précisément, on utilise à nouveau la définition du spectre pour une suite de carré sommable. Le spectre de e est la limite dans \Large{L^{2}(\mathbb{T})} de la suite

\Large{\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-il(2w)}} et donc le spectre \Large{\hat{e}} de e vérifie \Large{\lim_{N\to +\infty} \frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|\hat{e}(w)-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-ilw}\|^{2}dw}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:04

Citation :
c'est seulement lorsque N va tendre vers l'infini que chaque terme, au bout d'un certain temps, va être à égal à la somme entre 0 et M

Il y a donc toujours un passage à la limite "non justifié" ?

Sinon,
c'est beaucoup plus clair la suite.
Il faut donc vérifier que la quantité \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)} vérifie \Large{\lim_{N\to%20+\infty}%20\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)}-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-il2w}\|^{2}dw}=0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:13

Citation :

Il y a donc toujours un passage à la limite "non justifié" ?


toutafé !

Citation :
Il faut donc vérifier que la quantité \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)} vérifie ...


Déjà, tu ne peux pas écrire ça comme une "vraie somme".
Il faut plutôt montrer que lorsque N tend vers l'infini, cette suite tend vers \Large{\hat{e}(2w)}.

Bref, il faut montrer que

\Large{\lim_{N\to%20+\infty}\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|\hat{e}(2w)-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-il2w}\|^{2}dw}=0


Ceci est quasiment évident (changement de variable puis utilisation de périodicité)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:15

On admet l'expression : \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-il(2w)}=\hat{e}(2w) alors ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:16

J'ai pas saisi ce que l'on admet et ce que l'on doit démontrer en fait.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:33

on sait que \Large{\lim_{N\to%20+\infty}\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|\hat{e}(w)-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-ilw}\|^{2}dw}=0

et on veut montrer (ou alors, on peut voir directement) que :

\Large{\lim_{N\to%20+\infty}\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|\hat{e}(2w)-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-il2w}\|^{2}dw}=0

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:36

Ok, mais qu'est-ce que \hat{e}(2w) ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:38

Qu'est-ce que \hat{e}(w) ici?
On a juste fais des opérations sur une certaine somme ici!

Comment trouver \hat{e}(w) ?
C'est l'élément qui vérifie \lim_{N\to%20+\infty}\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|\hat{e}(w)-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-ilw}\|^{2}dw}=0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:38

ça veut dire ce que ça veut dire : c'est le spectre de e évalué au point 2w.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:39

message de 21h38 : oui

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:44

Est-ce ceci :
Si on arrive à trouver un élément disons A tel que \lim_{N\to%20+\infty}\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\|A-\Bigsum_{l=-N}^{N}e(l)e^{-ilw}\|^{2}dw}=0 alors A=\hat{e}(w) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:46

oui, car il y a unicité de la limite.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:47

Enfin, cette égalité sera vraie uniquement presque partout.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:54

Donc nous on fait un raisonnement, on trouve :
\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N-2l}^{N-2l}\bar{h(u)}e^{-iuw}

On fait alors l'intuition en prenant une certaine limite que A=\bar{m_0(-w)}\times\hat{e}(2w)

Il reste alors à vérifier que l'on a bien \lim_{N\to%20+\infty}%20\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}|A-(\Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}\)|^2dw%20=0

C'est bien cela ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 21:58

toutafé !

Maintenant, avant de faire cela, on va avoir besoin de remarquer quelque chose.

Essaie de montrer que la somme infinie sur l est en fait une somme finie : l'ensemble des l tels que le terme d'ordre l est non nul est un ensemble fini.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:01

Il faut montrer que la somme \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw} est finie ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:05

non, ça ne risque pas d'être fini.

Je voulais dire que la somme :

\Large \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N-2l}^{N-2l}\bar{h(u)}e^{-iuw}

a un nombre fini de termes non nuls.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:12

On a posé u=k-2l.
Alors déjà on sait que h(u)=0 si u n'est pas dans [0,M].
Cela revient donc à montrer qu'il existe un nombre fini d'entier u compris entre 0 et M ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:14

oui, c'est bien ça.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:18

Je ne vois pas comment le démontrer.
On fixe l, et on regarde ce qui se passe pour k qui varie ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:22

Il y a un moins simple de le voir.
Pour que le terme d'ordre l soit non nul, il faut au moins que l'ensemble des entiers de 0 à M intersecte l'ensemble des entiers entre -N-2l et N-2l.

Donne deux égalités faisant intervenir N, l et M pour lesquelles cette intersection n'a pas lieu.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:24

C'est quoi le terme d'ordre l ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 20-03-08 à 22:25

c'est le terme d'ordre l de la somme, c'est-à-dire :

\Large e(l)e^{-i2lw}\Bigsum_{k=-N-2l}^{N-2l}\bar{h(u)}e^{-iuw}

Kaiser
la suite ici : Autour de Parseval (3)

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