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Autour de Parseval

Posté par
H_aldnoer
18-03-08 à 23:16

la suite de Autour de Parseval

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:21

Ensuite, il s'agit de bien appliquer Cauchy-Schwarz et ça vient tout seul.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:26

C-S à \Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|} ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:27

oui

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:28

En séparant le |e(l)| du reste ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:31

non : si tu fais ça, tu va obtenir une somme sur le couple (k,l) de quelque chose qui va dépendre uniquement de l : cette somme va diverger.

Il faut donc que dans les deux sommes, le termes que tu vas sommer va dépendre de k et de l. Il n'y alors qu'une seulement manière raisonnable de procéder.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:35

donc c'est plutôt le |f(k)| ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:37

ça va être la même chose : tu vas obtenir une somme sur le couple (k,l) de quelque chose qui va dépendre uniquement de k, donc cette somme va diverger.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:49

J'ai pas compris comment tu as raisonnés?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:51

à propos de quoi ? mon message de 23h37 ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:53

oui et 23:31.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:59

si tu appliques Cauchy-Schwarz en séparant e(l) du reste, tu va avoir :

\Large{\(\Bigsum_{(k,l)\in \mathbb{Z}^2}|e(l)|^2\)^{\frac{1}{2}}\(\Bigsum_{(k,l)\in \mathbb{Z}^2}|f(k)h(l-2k)|^2\)^{\frac{1}{2}}}

la première somme diverge, car elle vaut également :

\Large{\(\Bigsum_{k\in \mathbb{Z}^2}\[\Bigsum_{l\in \mathbb{Z}^2}|e(l)|^2\]\)^{\frac{1}{2}}}

ce qui est entre crochets est indépendant de k, donc dans cette somme, on somme une infinité de fois un nombre constant, donc à moins que la suite e soit nulle, ça diverge.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:59

si on sépare f(k), on adopte le même genre raisonnement.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:03

On obtient une divergence ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:05

oui, la même chose.
ça veut donc dire qu'il ne faut utiliser Cauchy-Schwarz ainsi.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:07

Donc c'est avec le h(l-2k) qui faut couper ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:07

oui

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:11

C'est \le \sqrt{\Bigsum_{(k,l)\in\mathbb{Z}^2} |h(l-2k)|^2}\sqrt{\Bigsum_{(k,l)\in\mathbb{Z}^2} |f(k)|^2|e(l)|^2}

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:15

ah non, je ne pensais pas à ça mais de toutes façons, ça ne marche pas non plus : la somme de gauche diverge si h n'est pas nul.

En effet, imaginons que h(0) est non nul.

Il existe une infinité de couple k l tels que l-2k=0 (ce sont les couples du type (k,2k)) et donc le terme h(0) apparait une infinité de fois et comme il est non nul et ne dépend pas de l et k, alors la somme diverge.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:17

ils faut essayer de mettre f et h dans des sommes différentes.
Quant à h, eh ben, il faut ...

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:19

Je ne vois pas comment utiliser C-S autrement kaiser.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:23

Il ne faut pas laisser f et e seuls dans leur coin sinon, ils vont te faire la tête !
\Large{|h(l-2k)|=|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}}

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:27

On écrit
\Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|=\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}(|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|f(k)|)(|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|e(l)|)}

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:28

oui, ensuite tu cauchy-Schwarzises.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:31

mdr le verbe

Cauchy-Schwarisont alors!

C'est \le \sqrt{\Bigsum_{(k,l)\in\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)||f(k)|^2}\sqrt{\Bigsum_{(k,l)\in\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)||e(l)|^2}

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:34

Citation :
Cauchy-Schwarisont alors!


j'aurais plutôt dit Cauchy-Schwarzisons !

Bref, ce que tu écris est correct et peut se simplifier.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:34

La première racine c'est ||f||_2||h||_1^{\frac{1}{2}} ?

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:34

Et la seconde c'est ||e||_2||h||_1^{\frac{1}{2}}

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:35

Soit ||h||_1||e||_2||f||_2

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:37

pour la première : oui
pour la deuxième : c'est seulement inférieur, parce que, à l fixé, l'ensemble des l-2k n'atteint pas forcément tous les entiers entre 0 et M.

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:37

J'ai obtenus \Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|\le ||h||_1||e||_2||f||_2

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:38

Cela dit, ta majoration finale (message de 00h35) est correcte.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:38

toutafé !

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:39

Citation :
pour la deuxième : c'est seulement inférieur, parce que, à l fixé, l'ensemble des l-2k n'atteint pas forcément tous les entiers entre 0 et M.

Comment ça ?

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:48

En tout cas e\in l_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{Z}) et f\in l_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{Z}). De même on peut écrire h comme une somme finie donc convergente.

D'ou \Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|<+\infty.
On peut appliquer Fubini :
On intègre dans le sens que l'on veut l'expression \Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}h(l-2k)f(k)e(l) ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:52

Citation :
Comment ça ?


à un moment, tu te retrouves avec la somme :

\Large{\Bigsum_{k\in \mathbb{Z}}|h(l-2k)|}, ce n'est pas exactement la norme 1 de h (par exemple, si l est impair, on ne pourra pas atteindre h(0).

message de 00h48 :

toutafé !

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:54

Ok pour ton dernier message.
Mais c'était dans quel optique déjà ?

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:55

En fait il faut faire la même chose mais avec le conjugé :
on intègre dans le sens que l'on veut la quantité
\Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}h(l-2k)\bar{f(k)}e(l)

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:56

Par exemple :
\Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}h(l-2k)\bar{f(k)}e(l)=\Large{\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in%20\mathbb{Z}}h(l-2k)\bar{f(k)}e(l)=\Large{\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\bar{f(k)}\Bigsum_{l\in%20\mathbb{Z}}h(l-2k)e(l)

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:57

Citation :
Ok pour ton dernier message.
Mais c'était dans quel optique déjà ?


simplement pour dire que ce n'était pas égale, mais ce n'est pas grave : ça reste inférieur à la norme 1 de h.

Citation :
En fait il faut faire la même chose mais avec le conjugé :


oui, plutôt.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:58

message de 00h56 : en fait, non. La somme sur l d'abord (car on veut écrire e scalaire quelque chose).

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 00:59

Ah oui :
\Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}h(l-2k)\bar{f(k)}e(l)=\Large{\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in%20\mathbb{Z}}h(l-2k)\bar{f(k)}e(l)=\Large{\Bigsum_{l\in%20\mathbb{Z}}e(l)\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}h(l-2k)\bar{f(k)}

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:00

Puis on écrit :
\Large{\Bigsum_{l\in%20\mathbb{Z}}e(l)\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}h(l-2k)\bar{f(k)}=\Large{\Bigsum_{l\in%20\mathbb{Z}}e(l)\bar{\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}f(k)

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:01

OK, et là en effectuant la manipulation que ton prof a fait (en mettant des barres là où il faut), on a bien ce que l'on veut.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:01

toutafé !

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:03

Donc R^*[(f(k))_k]=\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}f(k) ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:04

oui mais avec des parenthèses (puisque c'est une suite).

Kaiser

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:04

C'est une suite de l ou k ?
%20R^*[(f(k))_k]=(\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}f(k))_{l\in\mathbb{Z}}

ou

%20R^*[(f(k))_k]=(\Bigsum_{k\in%20\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}f(k))_{k\in\mathbb{Z}}

?

Posté par
H_aldnoer
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:05

Citation :
oui mais avec des parenthèses (puisque c'est une suite).

Oui justement!
Quels indices?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Autour de Parseval 19-03-08 à 01:08

C'est une suite indicé par l (k est déjà pris comme variable de sommation)

Bref, écris plutôt :


\Large{R^*[(f(l))_l]=\(\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\bar{h(l-2k)}f(k)\)_{l\in \mathbb{Z}}}

Kaiser

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