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Loi Binominale; Loi de Poisson (plaques)

Posté par
Franck57
19-03-08 à 18:23

Sujet:

Des machines fabriquent en série des plaques de tôle destinées au montage de transformateurs électriques. Ces plaques sont empilées et servent de conducteur au champ magnétique du transformateur.
L'expérience montre que, lors de la fabrication, la probabilité pour qu'une plaque soit inutilisable est 0,001.

Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de pièces inutilisables dans un lot de 3000 plaques.

1 : Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
      Préciser son espérance E(X)

2 : On suppose que loi de X peut être approchée par la loi de poisson de paramètre 3.
      Calculer alors, au centième près, la probabilité pour que dans un lot de 3000 plaques on observe
A : aucune plaque inutilisable.
B : au plus deux plaques inutilisables.

Edit Coll : titre complété

Posté par
Franck57
Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 18:24

Réponses trouver.

Posté par
Coll Moderateur
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 18:26

Bonjour quand même...

Donc les réponses sont trouvées.

Posté par
Franck57
Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 18:32

1: Loi de probabilité suivie par X

X= nombre de pièce inutilisable dans un lot.
p=0.001  n=3000
XB(3000;0.001)
P(X=k)=300k*0.001^k*0.999^N-k

Espèrence de X: ????

2a: Aucune plaque inutilisable

X=aucune plaque inutilisable

n=3000   p=0.001

XB(3000;0.001)

n=30003  p=0.001<0.1

n*p*q=3000*0.001*(1-0.001)=2.997<10

B(3000;0.001)P(3000*0.001)=3   P(X=k)=e^3*2^k/k!

P(X=0)=e^3*2^0/0!=20.08

Posté par
Franck57
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 18:36

2b: au plus deux plaques inutilisable

X=3000    p=0.001
XB(3000;0.001)
n=3000>3   p=0.001<0.1
n*p*q=3000*0.001*(1-0.001)=2.997<10
B(3000;0.001)P(3000*0.001)=3  P(X=k)=e^3*2^k/k!
P(X=3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
      =e^3*2^0/0!+e^3*2^1/1!+e^3*2^2/2!
      =e^3(20.08+40.17+40.17)
      =2016.98

Posté par
Franck57
Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 18:39

Bonjour Coll

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 19:20

Bonjour Coll et Frank57  

Frank : un petit conseil pour tes titres... c'est bien de les appeler "loi binômiale: loi de poisson", mais comme tu en as toute une série, on a du mal à s'y retrouver.

Pourquoi pas : "loi binômiale: loi de poisson (plaques)" ? Même pour toi, ce serait plus facile.

Coll : je vois souvent la loi binômiale utilisée dans des exemples de pièces défectueuses. Mais je suppose qu'on ne teste pas les pièces une à une en les remettant dans le lot, au risque de tomber plusieurs fois sur la même, si ?
Ce n'est donc pas à mon sens une expérience de Bernoulli. Je vois plus ça comme un tirage de n pièces sans remise. Quel est votre (ton) avis ?

Posté par
Franck57
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 19:30

Borneo je m'exuce de mon comportement sur ce site que ce soit avec vous et avec les autres personnes qui ce trouve sur se site

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 19:49

Ce n'est pas grave, il manquait juste un bonjour.

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 19:50

Je vais vérifier tes réponses, sur excel, ça va très vite.

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 19:53

1 : Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?

C'est B(3000;0.001)

Préciser son espérance E(X)

E(X) = n*p = 3

Ce n'est pas par hasard si on choisit 3 comme paramètre pour la loi de poisson.

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 20:02

2 : On suppose que loi de X peut être approchée par la loi de poisson de paramètre 3.

Calculer alors, au centième près, la probabilité pour que dans un lot de 3000 plaques on observe
A : aucune plaque inutilisable.

P = e^(-3) = approx 0.050

B : au plus deux plaques inutilisables.

P = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = approx 0.423

Posté par
Franck57
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 20:19

Borneo serait il possible de revoir cette exercice ensemble ou avec d'autres personnes qui sont sur ce site demain ou plus tard si sa te dérange pas?

Posté par
Franck57
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 20:23

Question: Comment vous fêtent pour résoudre ces problème sur le fichier Excel ?

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 21:22

J'ai eu un bug informatique  

la bonne formule est

Loi Binominale; Loi de Poisson

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 21:29

Voilà la formule pour tableur

je lui dis de prendre le nombre de succès de la cellule E44 (ici, c'est 0)

ensuite je lui indique que le paramètre est 3

ensuite je lui dis de cumuler les probas (1) ou non (0)

Mais bien sûr, le tableur peut aussi calculer avec la formule

P(X = k) = exp(-)* ^k/k! si on lui demande.

Loi Binominale; Loi de Poisson

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 21:32

Et voilà la réponse qu'il donne

Loi Binominale; Loi de Poisson

Posté par
Coll Moderateur
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 21:42

Bonsoir borneo

Tu m'as écrit un jour (il y a bien un an et demi de cela... ) que ton privilège dans ce forum était de tutoyer tout le monde... alors...
_________________

Tu as en toute rigueur absolument raison.
Mais la pratique industrielle accepte quelques entorses à la rigueur, à la condition que les conséquences en soient acceptables :
. qu'est-ce que cela peut coûter ?
. quelle économie fait-on en contrepartie ?

Or le jeu consistant à se battre avec la loi hypergéométrique n'en vaut pas la chandelle.

La première manière de raisonner est de dire que l'on travaille avec une série de lots ; ainsi le prélèvement ne modifie pas les proportions de pièces non conformes donc les probabilités.

Et dans le cas d'un lot isolé (pour lequel des précautions doivent être prises, il n'est plus possible alors en effet de "faire pression" sur le fournisseur de la même manière qu'avec des lots successifs) on accepte couramment en pratique que, si l'effectif de l'échantillon prélevé est inférieur au dizième de l'effectif du lot, ce prélèvement d'échantillon ne modifie pas significativement la proportion dans le lot à accepter ou refuser et donc... on emploie la loi binomiale ou la loi de Poisson.

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 19-03-08 à 22:25

Merci pour ta réponse.

J'envisage une JFF où la loi binomiale et la loi de Poisson me seraient bien utiles. Si les industriels s'en servent, je vais pouvoir m'en servir aussi.

Posté par
Franck57
re : Loi Binominale; Loi de Poisson 20-03-08 à 15:01

Bonjour je vous remercie pour l'aide que tu ma fournis, pour cette exercice. Donc les résultats que j'ai trouvés pour la question 2a et b sont faux ?

Pourquoi pas : "loi binômiale: loi de poisson (plaques)" ? Même pour toi, ce serait plus facile.
Tu proposes de faire cette opération. Peut tu me dire comment la résoudre car je ne suis pas souvent connecter sur le site internet île de maths et je ne le maîtrise pas comme vous ?

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson (plaques) 20-03-08 à 16:43

Toi, tu ne peux pas, mais un ange gardien est passé par là  

Posté par
Franck57
re : Loi Binominale; Loi de Poisson (plaques) 20-03-08 à 20:47

B : au plus deux plaques inutilisables.

P = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = approx 0.423

Cette question je n'arrive pas a la résoudre a la main

Posté par
borneo
re : Loi Binominale; Loi de Poisson (plaques) 20-03-08 à 21:11

P = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

= exp(-3)*3^0/0! + exp(-3)*3^1/1! + exp(-3)*3^2/2!   =

= exp(-3) + 3exp(-3) + 9/2 exp(-3) = exp(-3)*(1 + 3 + 9/2) = 8.5 exp(-3)

= approx  0,423



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