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Algebre et géométrie différentielle(2)

Posté par
robby3
20-03-08 à 12:10

Bonjour tout le monde,
voilà un autre petit exo sympathique mêlant algebre et géométrie...

Citation :
1)Montrer que le groupe \rm SU(n)=\{M\in M(n,C)/ Det(M)=1 et M.^tM=Id\} est une sous-variété de M(n,C) identifié à R^{2n^2}

2)Montrer que SU(2) est difféomorphe à la sphere S^3
3)Montrer que les applications
\rm SU(n)\rightarrow SU(n)
\rm M \rightarrow M^{-1}

et
\rm SU(n) x SU(n)\rightarrow SU(n)
\rm (M,N) \rightarrow MN

sont lisses.
En déduire que M\rightarrow AM et M\rightarrow MA sont des difféomorphisme de SU(n).
Quelle relation peut-on en déduire avec T_M(SU(n)) et T_{AM}(SU(n))


pour la 1)
est-il bon d'introduire f(M,N)=(Det(M)-1,N.^tN-Id)
en disant que c'est linéaire par rapport à chacune des variables donc C^{\infty} et que donc f est une submersion et dire ensuite que SU(n)=f^{-1}(\{0\})

pour la 2) comme d'habitude j'arrive pas à trouver de difféo(et c'est lmà que j'ai un véritable probleme! à chaque fois je bug ici!)

Merci d'avance de votre aide!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 12:54

Re robby, ton application n'est clairement pas linéaire à cause du -1, mais ça a l'air de marcher sans cela!

2)Il y a l'air d'y avoir un lien avec les matrices de rotations...
L'image d'un point de module 1 par l'ensemble des rotations en dimension 4 est la sphère S3...
Reste à trouver les bons espaces en vérifiant qu'on peut se ramener à un espace réel de dimension 4.

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 13:25

Citation :
ton application n'est clairement pas linéaire à cause du  -1

>ah oui,je suis allez trop vite là
Citation :
mais ça a l'air de marcher sans cela!

>ah bon?
comment celà?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 13:40

Je définirais plutôt

f(M)=(det M - 1 ; MtM - Id) et regarderais la différentiabilité.

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 13:46

la différentiabilité?
le determinant est une forme multilinéaire alterné.
l'autre partie on a vu dans l'autre topic que c'était différentiable.
non?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 13:47

Oui!

Reste donc à voir le rang de df_M!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 13:52

le determinant à pour différentielle Tr(^tCo(M).H) sauf erreur...enfin si mes souvenirs sont bons...

et l'autre partie,tu l'a calculer dans le topic d'avant.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 13:58

Qu'appelles-tu C0(M)?

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:05

la comatrice de M

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:14

OK!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:18

voilà et donc aprés?
on est toujours dans M(n,C) X M(n,C) non?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:21

Non, on a une application linéaire df_M de Mn(C) dans C x Mn(C).

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:33

ah oui pardon!
ok et on bien Rang(Df_M)=Dim(Im(f_M))donc f_M est bien une submersion donc SU(n)=f^{-1}(\{0\}) est bien une sous-variété de M(n,C).

pour le 2)...t'as piste Tigweg elle me fait bien peur!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:37

Comment calcules-tu le rang aussi facilement robby?

Pour le 2)...Moi aussi j'ai peur!!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:41

Comment ça comment je calcule le rang?
C c'est isomorphe à R^{2} non?
et M(n,C) à R^{2n^2}
donc dans les deux cas (f_M et Df_M) c'est pareil non?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:47

Ben non puisque f n'est pas linéaire!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 14:54

mais f ne va t-elle pas de M(n,C) dans C X M(n,C) ??

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 15:28

ah oui non mais comme f n'est pas linéaire on sait pas quel est le rang de Df_M en fait,c'est ça?
Comment qu'on fait alors?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 15:33

T'inquiètes pas robby. Ajouter des constantes n'a jamais fait de mal! T'as qu'à dire que c'est affine et tout va bien!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 15:38

Citation :
T'inquiètes pas robby

>ah si je m'inquiete!
ça fait 3/4 exos identiques que je fais,j'ai pas l'impression de progresser!
je fais tout le temps les memes erreurs...

et là je comprend pas trop ta remarque?
ajouter des constantes??
à quoi? comment? pourquoi?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 15:56

Pour caravtériser les éléments de SU(n) tu prends f(M)=(\det(M)-1,M {}^t M-Id) et tu auras SU=f-1(0,0) et tu te fais du souci à cause du -1 et de -Id. Ce sont des constantes, donc leur différentielle est nulle et c'est le reste qui compte. D'ailleurs, moi je prendrais f(M)=(\det(M),M {}^t M) et je dirais que SU=f-1(1,Id) et le tour est joué!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:01

Citation :
tu te fais du souci à cause du -1 et de -Id. Ce sont des constantes, donc leur différentielle est nulle et c'est le reste qui compte

>oui,mais quand tu dis c'est le reste qui compte,je suis d'accord mais comment justifier que rang(Df_M) c'est Im(f_M)?
en disant que les constantes -1 et -Id sont de "rang" nuls?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:03

En ne disant rien; quand tu différenties ils disparaissent tout simplement (après tout (2x)'=(2x+1)')

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:14

Donc je dis rien
on a bien Rand(Df_M)=Dim(Im(f_M))
donc f_M est bien une submersion et donc SU(n) est une sous-variété de M(n,C).

pour la 2),peux tu m'expliquer comment tu raisonnes pour résoudre cette question?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:20

Je suis prise d'un doute. Tu es sur que ce n'est pas

\Large M^{t}\overline M=Id ?

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:30

A vrai dire c'est sur un PDF...et je sais pas si c'est un t ou une étoile qu'il y a...


voici le lien

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:45

C'est bien une étoile! Ca change pas grand chose au début... Alors voilà pour 2).

Soit \(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\) est dans SU(2). En écrivant M*M=Id on trouve qu'elle est de la forme

\(\begin{array}{cc}a & b\\ -\overline b & \overline a\end{array}\)

Comme en plus le déterminant vaut 1, on a |a|2+|b|2=1, ce qui fournit une superbe application vers S3.

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 16:59

et faut montrer que c'est un difféo ce truc là?
je comprend pas trop,on aune matrice dans S^3?

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:14

j'ai réussi la question 3) sauf la fin fin de la question 3)
par contre là déjà,je vois pas pourquoi l'application est différentiable.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:28

En fait soit A un point de S3 et ra;b l'application linéaire associée à la matrice Ma,b de Camélia.

L'application Ma,b -> ra;b(A) est une bijection de SU(2) sur S3.
Reste à examiner la différentiabilité.

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:40

je suis pas sur d'avoir saisi:

ra;b :SU(2)\rightarrow S^3
         Ma;b\rightarrow ra;b(A)

mais ra;b(A)=???

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:45

S3 c'est la sphère unité, et A c'est l'un de ses ponts, fixé.

Par ra,b, A va donner un autre point de la sphère.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:45

points*

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:50

Bon en fait il suffit de lui associer le couple (a,b) de la sphère, c'est plus simple que ce que je t'ai dit.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 17:58

Tu suis?
Donc après c'est fini!
Si tu poses comme norme sur SU(2) le max des normes des vecteurs lignes, il est immédiat que l'application en question est différentiable, c'est comme l'application (x,y) -> x.

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:18

J'ai absolument rien compris!!
Camélia m'a définit une application de SU(2) dans S^3.
Et tu me propose une autre application?
enfin c'est la meme mais vu comme application linéaire c'est ça?
en fait on aurait ra;b(A)=
(a b
(-\bar{b} \bar{a} )
"fois" A un point de S^3.
c'est bien ça?
come c'est linéaire et que les dimensions sont finies,c'est continue et la différentiabilité vient de la linéarité c'est bien ça?

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:20

y'a eu un soucis avec le latex
ce qu'il manque c'est
le produit de la matrice de Camélia 16:45 au point A

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:22

Citation :
Bon en fait il suffit de lui associer le couple (a,b) de la sphère, c'est plus simple que ce que je t'ai dit.


Donc à une matrice Ma,b tu associes le point (a;b) de S3 ok?
C'est ça ton application!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:27

ok on est d'accord.
Mes explications pour la différentiabilité et la continuité sont-elles exatcs à 18:18?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:31

Ok c'est correct aussi!

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:35

ok trés bien!
t'as une idée pour la relation entre les espaces tangents (question 3 fin)
?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:38

Que veut dire "lisse"?

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 18:49

C^{\infty}
pour ça pas de problemes:
c'est juste l'histoire des plans tangent qui me posent soucis.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 19:00

OK!

Et qu'est-ce que la matrice A?

De plus le plan tangent en un point c'est quoi?L'espace affine passant par le point et de direction l'espace engendré par la différentielle en ce point?

Et pourquoi est-ce forcément un plan?

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 19:08

A appartient à SU(n)
le plan tangent en un point c'est le noyau de la matrice jacobienne en ce point.
tu peux le voir aussi comme tu le dit;espace affine...
pourquoi est-ce forcément un plan?
alors là?
aucune idée!
je sais juste qu'il est de meme dimension que la sous-variété à laquelle il se rapporte.

Posté par
robby3
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 19:22

Bon Tigweg,c'est pas grave,je verrais ça demain!
là je crois que j'ai eu ma dose de géo diff pour la journée.
Je te remercie de l'agréable aprés midi passé avec toi et Camélia!
Je m'arrete là pour aujourd'hui.
Je repasserais demain en soirée et tout ce long Week-end(pour le fameux DM de probas...qui avance un peu quand meme).
Merci et bonne soirée!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Algebre et géométrie différentielle(2) 20-03-08 à 19:53

Ok bonne soirée robby!
Désolé, pour tes questions je ne vois pas, je découvre la notion...

Avec plaisir, moi aussi j'ai passé une bonne après-midi!



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