Bonjour tout le monde,
voilà un autre petit exo sympathique mêlant algebre et géométrie...
Re robby, ton application n'est clairement pas linéaire à cause du -1, mais ça a l'air de marcher sans cela!
2)Il y a l'air d'y avoir un lien avec les matrices de rotations...
L'image d'un point de module 1 par l'ensemble des rotations en dimension 4 est la sphère S3...
Reste à trouver les bons espaces en vérifiant qu'on peut se ramener à un espace réel de dimension 4.
la différentiabilité?
le determinant est une forme multilinéaire alterné.
l'autre partie on a vu dans l'autre topic que c'était différentiable.
non?
le determinant à pour différentielle sauf erreur...enfin si mes souvenirs sont bons...
et l'autre partie,tu l'a calculer dans le topic d'avant.
ah oui pardon!
ok et on bien donc f_M est bien une submersion donc est bien une sous-variété de .
pour le 2)...t'as piste Tigweg elle me fait bien peur!
Comment ça comment je calcule le rang?
c'est isomorphe à non?
et à
donc dans les deux cas (f_M et Df_M) c'est pareil non?
ah oui non mais comme f n'est pas linéaire on sait pas quel est le rang de Df_M en fait,c'est ça?
Comment qu'on fait alors?
T'inquiètes pas robby. Ajouter des constantes n'a jamais fait de mal! T'as qu'à dire que c'est affine et tout va bien!
Pour caravtériser les éléments de SU(n) tu prends et tu auras SU=f-1(0,0) et tu te fais du souci à cause du -1 et de -Id. Ce sont des constantes, donc leur différentielle est nulle et c'est le reste qui compte. D'ailleurs, moi je prendrais et je dirais que SU=f-1(1,Id) et le tour est joué!
En ne disant rien; quand tu différenties ils disparaissent tout simplement (après tout (2x)'=(2x+1)')
Donc je dis rien
on a bien Rand(Df_M)=Dim(Im(f_M))
donc f_M est bien une submersion et donc SU(n) est une sous-variété de M(n,C).
pour la 2),peux tu m'expliquer comment tu raisonnes pour résoudre cette question?
C'est bien une étoile! Ca change pas grand chose au début... Alors voilà pour 2).
Soit est dans SU(2). En écrivant M*M=Id on trouve qu'elle est de la forme
Comme en plus le déterminant vaut 1, on a |a|2+|b|2=1, ce qui fournit une superbe application vers S3.
j'ai réussi la question 3) sauf la fin fin de la question 3)
par contre là déjà,je vois pas pourquoi l'application est différentiable.
En fait soit A un point de S3 et ra;b l'application linéaire associée à la matrice Ma,b de Camélia.
L'application Ma,b -> ra;b(A) est une bijection de SU(2) sur S3.
Reste à examiner la différentiabilité.
S3 c'est la sphère unité, et A c'est l'un de ses ponts, fixé.
Par ra,b, A va donner un autre point de la sphère.
Bon en fait il suffit de lui associer le couple (a,b) de la sphère, c'est plus simple que ce que je t'ai dit.
Tu suis?
Donc après c'est fini!
Si tu poses comme norme sur SU(2) le max des normes des vecteurs lignes, il est immédiat que l'application en question est différentiable, c'est comme l'application (x,y) -> x.
J'ai absolument rien compris!!
Camélia m'a définit une application de SU(2) dans S^3.
Et tu me propose une autre application?
enfin c'est la meme mais vu comme application linéaire c'est ça?
en fait on aurait ra;b(A)=
(
( )
"fois" A un point de S^3.
c'est bien ça?
come c'est linéaire et que les dimensions sont finies,c'est continue et la différentiabilité vient de la linéarité c'est bien ça?
y'a eu un soucis avec le latex
ce qu'il manque c'est
le produit de la matrice de Camélia 16:45 au point A
ok on est d'accord.
Mes explications pour la différentiabilité et la continuité sont-elles exatcs à 18:18?
OK!
Et qu'est-ce que la matrice A?
De plus le plan tangent en un point c'est quoi?L'espace affine passant par le point et de direction l'espace engendré par la différentielle en ce point?
Et pourquoi est-ce forcément un plan?
A appartient à SU(n)
le plan tangent en un point c'est le noyau de la matrice jacobienne en ce point.
tu peux le voir aussi comme tu le dit;espace affine...
pourquoi est-ce forcément un plan?
alors là?
aucune idée!
je sais juste qu'il est de meme dimension que la sous-variété à laquelle il se rapporte.
Bon Tigweg,c'est pas grave,je verrais ça demain!
là je crois que j'ai eu ma dose de géo diff pour la journée.
Je te remercie de l'agréable aprés midi passé avec toi et Camélia!
Je m'arrete là pour aujourd'hui.
Je repasserais demain en soirée et tout ce long Week-end(pour le fameux DM de probas...qui avance un peu quand meme).
Merci et bonne soirée!
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