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Théorème de Riemann-Lebesgue

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 20-03-08 à 21:51

Bonsoir !

Voilà qu'on termine l'algèbre linéaire ! Direction \to Intégration

Un petit exo où je commence:

Citation :
Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction continue par morceaux.

Montrer que 3$\rm\Bigint_{a}^{b}f(t)e^{int}dt \longrightarrow_{n^\infty} 0


j'ai commencer par composer l'exponentielle en sin et cos mais ... j'avoue n'aboutir à aucun parcours

Merci

Posté par
gui_toure : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 21:53

Salam !

C'est pas 3$\rm e^{-int ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 21:57

salam

non, c'est ce que j'ai écrit !

Posté par
gui_toure : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:00

Argg désolé d'avoir fait virer ton topic au vert

Avec une intégration par parties, ça ne marche pas ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:02

Salut à tous

monrow > commence par le montrer lorsque f est en escalier.
gui_tou > - ou +, ça donne le même résultat à la fin. En fait, que n soit un entier ou pas, n'a aucune importance.

On a même mieux :

\Large \lim_{|\lambda|\to +\infty}\Bigint_{a}^{b}f(t)e^{i\lambda t}dt=0

\Large{\lambda} étant réel.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:03

Salut

gui-tou >> avec une IPP, je ne vois pas d'autre moyen que de dériver f, or celle-ci n'est supposée que continue par morceaux...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:04

euuuh : j'ai déjà essayé, mais où est ce que ça se peut en venir?

Posté par
gui_toure : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:05

Salut Kaiser et FF

FF > Et si justement on l'intègre sur les morceaux où elle est continue ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:07

Citation :
euuuh : j'ai déjà essayé, mais où est ce que ça se peut en venir?


quelque part, dans ton cours, tu n'aurais pas un résultat qui s'appelle : "approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escaliers" ?

Kaiser

Posté par
infophilere : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:07

Bonsoir

Tiens je l'ai fait en TD ça, on peut s'en servir pour démontrer que la série en 1/k² converge vers pi²/6.

Posté par
gui_toure : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:08

Moi je l'ai fait en DS même

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:14

Salut Kaiser et FF

Ok je suppose alors f en escalier, et je prend une seubdivision 3$\rm(x_i)_{1\le i\le n}

pour tout t de 3$\rm ]x_i,x_{i+1}[,\exist c_i\in \mathbb{R} tq f(t)=c_i

3$\rm\Bigint_{a}^{b}f(t)e^{jnt}dt=\Bigsum_{i=1}^{n-1}c_i(x_{i+1}-x_i)\Bigint_{x_i}^{x_{i+1}}e^{jnt}dt=\Bigsum_{i=1}^{n-1}c_i(x_{i+1}-x_i)\[-ie^{jnt}\]_{x_i}^{x_{i+1}}=\Bigsum_{i=1}^{n-1}c_i(x_{i+1}-x_i)\[ie^{jnx_i}-ie^{jnx_{i+1}}\]

je note j²=-1 au lieu de i

euh après?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:16

1) c'est quoi le i devant l'exponentielle (je suppose que c'est j)
2) tu as oublié de diviser par n (en intégrant).

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:17

Citation :

quelque part, dans ton cours, tu n'aurais pas un résultat qui s'appelle : "approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escaliers" ?


si, toute fonction CM est encadré entre deux suites de fonctions en escalier

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:19

oui bien sur, c'est:

3$\rm\Bigint_{a}^{b}f(t)e^{jnt}dt=\frac{j}{n}\Bigsum_{i=1}^{n-1}c_i(x_{i+1}-x_i)\[e^{jnx_i}-e^{jnx_{i+1}}\]

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:19

oui, mais c'est plus précis que ça. C'est un truc qui dit que pour tout epsilon, on a deux fonctions en escalier qui encadrent f à epsilon près.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:19

message de 22h19 : du coup ? on est content ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:20

oui je suis tout à fait d'accord !

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:23

Ensuite, comment fait-on pour répondre à l'exo ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:25

oui mais on ne l'a pas encore montré pour les fonctions en escaliers ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:27

tu as fais le calcul : en faisant tendre n vers l'infini, ça se voit que ça tend vers 0, non ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:28

attends deux secondes : le n de l'intégrale n'a rien à voir avec le n de ta somme désignant le nombre de points de ta subdivision (appelle cet entier autrement).

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:32

ohhh oui voilà la grosse erreur, c'est plus clair, ça tend vers 0

bon après soit f une fonction CM, il existe g et h en escaliers telles que g<f<h et h-g<epsilon. mais j'ai pas le droit de mutiplier par l'exponentielle puis d'intégrer (pas d'ordre dans C) ... sinon ça aurait été facile puisque on a montrer ques les fonctions en escalier tendaient vers 0

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:37

on n'a pas le choix : tu dis "fixons epsilon strictement positif" etc.
Autre chose, tu n'aurais besoin que d'une seule de ces fonctions, par exemple g, en remarquant que h-f < epsilon.

Ensuite une idée ou un nain dix ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:42

oki ! juste un tout petit nain dix !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 22:43

en plus, je viens de me relire et il y a une GRANDE faute de calcul pour "en escalier" il n'y a pas ce (x(i+1)-x(i))...

Posté par
ottore : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 23:01

oui mais on ne l'a pas encore montré pour les fonctions en escaliers
C'est pas trivial en faisait la supposition que la fonction soit L1 ?
Montre le pour une fonction constante au pire.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 23:04

Salut otto,

en fait, on l'a montré pour escalier, on est à CM

sinon c'est quoi L1?

Posté par
ottore : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 23:07

Ok j'avais cru comprendre le contraire.
Il me semble que les indications de Kaiser sont excellentes, je vais donc le laisser continuer

a+

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 23:44

salut otto !

monrow >

Citation :
sinon c'est quoi L1?


c'est l'ensemble des fonctions intégrables au sens de Lebesgue

Sinon, voici un petit nain dix : f=(f-h)+h

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 20-03-08 à 23:57

héhé bon voilà ce que j'ai fait

3$\rm \|\Bigint_a^bf(t)e^{int}dt\|=\|\Bigint_a^b(f(t)-h(t)+h(t))e^{int}dt\|\le\|\Bigint_a^b(f(t)-h(t))e^{int}dt\|+\|\Bigint_a^bh(t)e^{int}dt\|\le\Bigint_a^b\|f(t)-h(t))\|dt+\|\Bigint_a^bh(t)e^{int}dt\|

Je note 3$\rm M=\sup_{[a,b]}|f-h| donc 3$\rm \|\Bigint_a^bf(t)e^{int}dt\|=\le M(b-a)+\|\Bigint_a^bh(t)e^{int}dt\|

Or d'après ce qu'on a montré pour les fctions en escalier : 3$\rm \|\Bigint_a^bf(t)e^{int}dt\|=\le M(b-a)+\varepsilon et làààà !

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:02

Tu peux m'expliquer tes majorations : par quoi tu as majorer l'intégrale de h multiplié par l'exponentielle ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:03

autre chose : le M(b-a) est trop brutal.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:03

on a montrer qu'elle tend vers 0, donc pour tout epsilon positif, il exsite n0 tel que pour tout n>=n0 l'intégrale en valeur absolue est inférieur ou égal à epsilon

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:03

Citation :
autre chose : le M(b-a) est trop brutal.


euuh pourquoi?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:04

OK (mais il fallait bien préciser que tu prenais n supérieur à n0)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:05

On n'a pas choisi h n'importe comment.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:05

oui bien sur

sinon pourquoi le passage à M(b-a) est brutal?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:09

|f-g|<epsilon ? donc l'intégral est plutôt inférieur ou égale à epsilon(b-a) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:13

oui, c'est bien ça (sauf que là, comme on se sert de h, on a |f-h|< epsilon).
Ensuite ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:15

oui oui bah maintenant (b-a)epsilon+epsilon sera < epsilon' ... pour tout n > n0 et voilà l'intégrale tend vers 0

c'est bien ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:16

oui (et si tu voulais avoir epsilon à la fin, même si ça sert à rien, au départ, tu pouvais prendre \Large{\frac{\varepsilon}{1+b-a}})

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:17

Ok KLaiser

Sinon, y a des propriétés ou des choses  savoir sur l'intégration au sens de lebesgue? (juste des petites propriétés de débutant! )

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:27

faute de frappe (qui m'arrive assez souvent d'ailleurs) !

Citation :
Sinon, y a des propriétés ou des choses savoir sur l'intégration au sens de lebesgue? (juste des petites propriétés de débutant!


Il faut déjà avoir eu un cours sur la théorie de la mesure pour bien cerner le truc, et en fait tout découle de cette théorie donc pour des propriétés simples, je ne vois pas trop.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:28

Ok Kaiser

Merci bcp pour l'aide que tu m'as apportée

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de Riemann-Lebesgue 21-03-08 à 00:28

Mais je t'en prie !


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