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Algèbre : Polynômes dans R3[x]
Bonsoir, je ne voudrais pas abuser des services disponibles 
, mais sans cela j'y suis encore à 6H du matin.
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Voici mon énoncé :
Espace vectoriel considéré : 
3[X] ( les polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3 )
On note (e0,e1,e2,e3) sa base canonique, ou encore (1,x,x2,x3).
Application considérée :
(P)(X) = P(X) + (1-X)P'(X)
où P' est le polynôme dérivé de P
1°) Vérifier que est un endomorphisme de 3[X]
2°) Déterminer la matrice A de dans la base canonique.
3°) Montrer que est diagonalisable ( pas de calcul ).
4°) Déterminer le noyau et l'image de .
5°) Déterminer une base B = (u0,u1,u2,u3) de vecteurs propres pour ( on ordonnera les vecteurs propres par ordre décroissant des valeurs propres correspondantes ).
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Ce que j'ai traité :
1°) OK
2°) 1 1 0 0
0 1 2 0
0 0 -1 3
0 0 0 -2
3°) Je pense que "calcul" est ici synonyme de déterminer le polynôme caractéristique. Est-ce que le fait que ce soit diagonalisable à un rapport avec le fait que la matrice soit triangulaire supérieure?
Si oui, pourquoi?
Merci beaucoup pour les réponses à venir ! ^^
Re rocky1!
2)Pas d'accord avec la deuxième colonne, l'image de X est 1.
3)Du coup il y a 4 valeurs propres distinctes dans un espace de dimension 4! 
Quand il y a autant de valeurs propres que la dimension n de l'espace, la somme des dimensions des espaces propres est supérieure à combien? 
Etant donné qu'ils sont en somme directe ( pas d'intersection ), je dirais, supérieure ou égale à 4... 
Ce qui veut dire que le noyau est nul?
Donc que c'est injectif?
Donc qu'il existe une matrice inverse et à partir de ça on peut trouver une matrice diagonale dans une certaine base?
C'est un peu flou ce que je raconte
Tu t'emportes!
Ne confonds pas les espaces propres et l'image de f.
Tu as des espaces E1,...,En en somme directe, dont chacune des dimensions est supérieure ou égale à 1 (comme tout espace propre qui se respecte) dans un espace de dimension n.
Conclusion:
ainsi
d'où?
Ok merci, je viens de comprendre
... juste une petite précision, les valeurs propres sont les valeurs sur la diagonale dans quels cas?
Matrices triangulaires et diagonales?
Pour la suite, et dans le cas général, la dimension du noyau, c'est bien le nombre colonnes de zéros? Donc ici le noyau est nul et Im() = E ?
ou Im() = E \ 0 ?
Et la dimension de l'image c'est bien le nombre de lignes non vides?
a dimension du noyau, c'est bien le nombre colonnes de zéros?
->Pas forcément.C'est vrai dans une base contenant une base du noyau (par exemple une base de diagonalisation si la matrice est diagonalisable), ce qu'on ne sait en général pas avant d'avoir déterminé le Ker!
Bon ici c'est un cas particulier puisqu'on dispose des valeurs propres et que 0 n'y est pas.
Par contre attention, le Ker et l'Im ne sont supplémentaires que si l'endomorphisme est un projecteur.
Les débutants croient souvent que le théorème du rang implique que le KEr et l'Im sont toujours en somme directe alors qu'il dit seulement que la somme de leurs dimensions vaut n (mais leur intersection est en général non nulle!)
Je dis cela par précaution, mais ta conclusion est juste car dim(Im) vaut ici n, donc l'Im est en effet E.
(Autre méthode:le Ker est nul donc l'application est injective donc bijective puisqu'on est en dimension finie).
Et la dimension de l'image c'est bien le nombre de lignes non vides?
->Pas toujours non plus.C'est vrai dans toute base qui complète une base du Ker (c'est d'ailleurs ainsi qu'on démontre le théorème du rang).Plus généralement, dim(Im) est le nombre de vecteurs colonne linéairement indépendants.
Ca coïncide avec le format maximal des sous-matrices carrées inversibles de la matrice de l'endomorphisme.
On appelle cela le rang de l'endomorphisme.
Tigweg
Je viens de remarquer un truc, l'erreur que tu avais relevée tout à l'heure fait que 0 fait partie des valeurs propres, donc que Ker(f) n'est pas nul.
Alors : il faudrait que je résolve (P)(X) = 0 pour trouver le noyau?
Avec un polynôme A(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3
ça reviendrait à résoudre a0 + a1 + 2a2X + (3a3 - a2)X2 - 2a3X3 = 0
Et puis si j'ai bien compris, trouver Ker(f) ne me donne pas nécessairement Im(f)?
J'ai vraiment du mal à me représenter les choses, et j'ai pas l'habitude de manier les polynômes comme ça.
Ah mais tout-à-fait, j'avais oublié ce détail!
En effet tu peux le faire comme ça ou avec les équas diffs, c'est plus rapide.
On sait que le Ker est de dimension 1 donc l'im est de dimension 3.
Pour en avoir une base il suffit donc de trouver 3 vecteurs colonnes linéairement indépendants.
Les 3 derniers (par exemple) font l'affaire.Après tu peux les exprimer comme des polynômes.
Ok pour la dimension, ça je comprends bien.
Par contre, l'histoire du "0 en valeur propre" donc Ker(f) non nul etc... je l'ai griffonné sur un coin de feuille de cours pdt un amphi...
ça doit te paraître évident, mais je vois pas, sachant ce que je viens décrire, comment on sait que Dim Ker(f) = 1 ou pas 2 etc...
Ker(f) = ? Je comprends pas qu'il puisse être non nul alors que je ne suis vois rien qui s'envoie sur 0 dans l'ensemble d'arrivée.
Et pour la résolution d'équa diff, je ne sais carrément plus comment ça marche... mais bon, passons, je pense pas que ce soit demandé ^^
En fait dans ce cas précis ta méthode (la plus générale) marche très bien, et tu trouves qu'un élément est dans le ker ssi il est nul ou de degré 1 et si son coeff constant est l'opposé de son coeff de degré 1.
Du coup il est multiple de (X-1) ce qui montre que le vecteur (X-1) est une base du ker.
Ainsi on a bien dim(Ker)=1.
Maintenant si tu veux le voir directement dès le départ, ta matrice est triangulaire et admet un 0 sur la diago, donc 0 est valeur propre.L'espace propre associé est Ker, et il est de dimension sup ou égale à 1.
Mais toujours grâce au fait qu'il y a n valeurs propres, aucun des espaces propres ne peut être de dim sup ou égale à 1, sinon, du fait qu'ils sont en somme directe, la dim de leur somme serait égale à la somme de leurs dims, ce qui dépasserait la dim de E.
Conclusion: chaque espace propre est de dimension 1, y compris le KEr.
Maintenant pourquoi ça ne se voit pas dans toute base, que le Ker est de dim 1:
Limitons-nous à la dim 2 pour mieux voir, tu vas tout de suite comprendre.
Imagine que f ait un ker engendré par le vecteur u et que v ne soit pas colinéaire à u.
Alors (u,v) est une base dans laquelle la matrice montre bien une colonne de 0 et une deuxième colonne.
Maintenant remarque que (u+v,v) est aussi une base (car famille libre de cardinal 2, démo immédiate).
Or u+v n'est pas dans le Ker (sinon v y serait) et v non plus, donc la matrice dans cette base ne fera plus apparaître de colonne de 0.
Pour dévoiler les propriétés des matrices, il faut donc commmencer par trouver les bonnes bases (celles qui sont dans les bons espaces), et c'est précisément le but premier de la trigonalisation (ou diagonalisation lorsque c'est possible).
Pour les équas diffs c'était juste pour aller plus vite mais c'est vrai que c'est une astuce, ta méthode est nickel.
Avec un polynôme A(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3
ça reviendrait à résoudre a0 + a1 + 2a2X + (3a3 - a2)X2 - 2a3X3 = 0
Le vecteur nul s'envoie tjrs vers Ker, ça c'est Ok, même pas besoin de regarder.
Par contre pour la suite, quelle est la démarche à adopter pour résoudre?
Tu me dis si ça marche comme ça. Je dis que le coefficient -2a3 devant X3 doit être nul.
Aussi, a2 devant X doit être nul.
Donc le coeff devant X2 est nul
Re-bonsoir,
En fait, je viens de me rendre compte que j'ai peut-être un soucis pour la dernière question:
4°) J'ai Ker = < (1,-1,0,0) >
Im = < (1,0,0,0),(0,2,-1,0),(0,0,3,-2) >
5°) J'ai fait pas mal de calculs en résolvant cas par cas pour obtenir chaque vecteur propre. Y a pas plus court?
Merci !
Re rocky!
Je pense que tu as déterminé les équations de chaque espace propre.
En fait il suffit d'UN vecteur non nul dans chacun d'entre eux, puisqu'on sait qu'ils sont tous de dimension 1.
EX pour la vp 1 :
On cherche P tel que P+(1-X)P'=P soit (1-X)P'=0.
On voit que toute constante non nulle marche, ainsi on a par exemple E1=<(1,0,0,0)>
Bonjour cher ami ! Mon sauveur !
Alors... J'essaie de capter:
Je vois pas trop d'où sors l'expression qu'on résout :
On cherche P tel que P+(1-X)P'=P
Ensuite, pour dire que (1-X)P' = 0 pour toute constante non nulle, est-ce qu'on se sert de Ker ?
Avec valeur propre 2, on aurait quoi stp?
Avec 2 exemples différents, je comprendrait peut-être mieuc j'espère
cher ami ! Mon sauveur !
->
C'est flatteur!
Rappelle-toi qu'on cherche les vecteurs P d'image 1 fois P (donc P!) quand on demande l'espace propre E1 associé à la vp 1.
Mais l'image de P, c'est P+(1-X)P'.
Donc on cherche un P non nul tel que P+(1-X)P'=P.
Ensuite (1-X)P'=0 dès qu'on choisit P'=0, donc dès que P est constant.
En termes de vecteurs, un polynôme constant c'est un multiple de e1=1 (polynôme égal à 1), qui a pour coordonnées dans la
base canonique (1,0,0,0).
Pour la vp -2 plutôt (!) il est plus rapide de le faire en coordonnées, on aboutit aux équations:
3x+y=0
2y+2z=0
z+3t=0
D'où t peut être fixé n'importe comment(sauf à 0 si on veut récupérer un vecteur non nul), par ex. t=1.
Alors z=-3 d'où y=3 et x= -1: E(-2) est donc <(-1;3;-3;1)>
Donc, pour la valeur propre -2, on cherche les vecteurs P d'image -2 fois P :
je résous P + (1-X)P' = -2P
<=> 3P + (1-X)P' = 0
je sais pas si je fais n'importe quoi, mais dans tous les cas, je vois pas comment tirer de ça un vecteur.
Dsl, j'ai du mal là...
Oups, j'ai répondu trop vite ^^
Ok, j'avais aussi cette équation, c'est bon.
Le traitement particulier n'est faisable que pour la valeur 1 si je comprends bien?
C'est juste mais on tombe sur une équa diff.
Ce que j'ai fait ici c'est dire que -2 est vp pour un vecteur X=(x,y,z,t) ssi A.X=-2X.
On oublie donc ici qu'on a affaire à des polynômes, pour se focaliser sur la matrice de l'endomorphisme!
L'équation s'écrit aussi (A+2I).X = 0 où I = matrice identité.
Reste à écrire A+2I et à multiplier par le vecteur colonne X, on obtient un vecteur colonne à 4 composantes qui doit
faire le vecteur nul, d'où un système de 4 équations à l'inconnue (x,y,z,t).
Pourquoi n'ai-je écrit que 3 équations dans ce cas?Parce que la dernière c'est 0=0 vu que la dernière ligne de la matrice
A+2I est nulle.
Le traitement particulier n'est faisable que pour la valeur 1 si je comprends bien
->J'en ai bien peur!
Bon je vais me coucher, je me lève à 6h... merci encore une fois Tig ^^
Je lirai le reste demain
->Ok, bonne nuit rocky!
merci encore une fois Tig ^^
Je lirai le reste demain
->Avec plaisir étalon!
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