Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA 17: Arrêtez-moi ce tricheur !

Bonjour

une petite énigme pour ce mois !

Un marchand de fruits est en misère ! il décide alors de truquer sa balance. Il a réduit l'un des fléaux et c'est de ce côté qu'il plaçait les poids.

Etilarkov qui avait remarqué cette grande tricherie dit à notre petit marchand :

« Je ne cherche vraiment pas à vous dénoncer ! Je vais juste vous demander gentiment de mettre les poids de façon alternée dans un plateau puis dans l'autre. Un client alors sera triché, mais le suivant sera avantagé. Et voilà une bonne justice ! »

Le marchand pleure de bonheur et de joie: il a vraiment échappé à une amende.
En faisant 1800 pesées d'un kilogramme pendant une journée, c'est 1800 fois,euuuuh ... (), le prix d'un seul kilogramme de fruits qu'il touche !

En faisant l'inventaire du stock, il lui manquait 10 kilos de fruits !

Pouvez-vous me dire de combien le fléau avait-il été réduit?

A vous !

Salut!

Le plateau truqué de la balance indiquait 1kg de fruit alors qu'il y avait en réalité 995 g de fruits sur le plateau. Le fléau a donc été réduit de 5g environ!

@+ et merci pour l'énigme!

En fonction des données du problème, je n'ai réussi qu'à trouver la réduction "relative" du fléau.
Je trouve une réduction de 0,55 %.

Bonjour Monrow

Apparament comme d'habitude tu regardes pas ton email , est ce que tu peux jeter un coup d'oeil stp.

_{D'ailleur j'ai une autre petite question qui me vient à l'ésprit, est ce qu'une valeur exacte est attendue}

bonjour Monrow
le fléau avait été réduit de 1/10 de sa longueur initiale
soit x le rapport entre le fléau réduit et le fléau normal
quand on met 1 kg de poids sur le fléau réduit, on met x kg de fruits dans le fléau normal
quand on met 1 kg de poids sur le fléau normal, on met 1/x kg de fruits dans le fléau réduit
on a vendu en tout 900x + 900/x kilos de fruits ou 1800+10 = 1810 kilos de fruits
900x + 900/x = 1810;
90x²-181x+90x = 0
x = (18119)/180 = 10/9 ou 9/10
comme il s'agit d'un raccourcissement, x = 9/10

Bonjour et merci à Monrow.

Soient l et l' les longueurs des fléaux.

Plaçant le poids marqué 1 kq du côté de l, et annonçant donc 1 kg, le marchand vend en fait une masse m telle que 1*l=m*l', donc m=l/l'.

Il fait cela 900 fois dans la journée, annonçant donc 900 kg et vendant en fait 900*l/l'.

900 fois, il fait l'inverse, vendant donc 900*l'/l.

Dans sa journée, il a donc écoulé 900(l/l'+l'/l) kilos de fruits.

On nous dit qu'il lui manque 10 kilos de fruits: je présume, car ce n'est pas très clair, que c'est par rapport aux poids annoncés par la balance.
Je suppose aussi que la vérification du stock est faite avec une balance non truquée!

Il a donc écoulé 1810 kilos de fruits.
Donc 900(l/l'+l'/l)=1810.
En posant x=l/l', je tombe sur une équation du second degré en x dont les racines sont 9/10 et 10/9.
Si on convient que l' est la longueur du fléau court, on a donc l'/l=9/10.

Il a raccourci l'un des fléaux du 1/10 de sa longueur

Le fléau a été réduit de 10%

Quand une balance a deux fléaux de longueurs inégales l₁ et l₂ si on place un poids F du coté de l₁ et une quantité F de fruits de l'autre côté on a l'égalité P*l₁=F*l₂ (1)

Supposons que le fléau initial a une longueur initiale de 1, le fléau « réduit » a une longueur x (x<1) que nous allons chercher.

Quand on place un poids de 1kg sur le fléau « court » on place F₁ sur l'autre fléau
D'après (1) on a 1*x=F₁*1 d'où F₁=x
Quand on place un poids de 1 kg sur le fléau « long » on place F₂ sur l'autre fléau
D'après (1) on a 1*1=F₂*x d'où F₂=1/x
Après ce cycle de deux opérations le marchand a vendu x+1/x fruits au lieu de 2 kg

En fin de journée (après 900 cycles) le marchand aura vendu 900*(x+1/x) au lieu des 1800 kg
Comme il lui manque 10 kg de fruits on en déduit que 900*(x+1/x)=1810
900x+900/x=1810 d'où 900x²-1810x+900=0 et 90x²-181x+90=0

Cette équation admet deux racines x₁=9/10 et x₂=10/9

La seule valeur a retenir est x=9/10

Le marchand avait donc réduit son fléau de 10%

bonsoir
soient l et l' les longueurs des deux fléaux   l>l'

a)quand le marchand met un poids de 1kg sur le plateau correspondant au fléau de longueur l il doit mettre sur l'autre plateau m'kg de fruit pour avoir l'équilibre
1l=m'l'=>m'=l/l'
b)le marchand place son poids de 1kg sur le plateau correspondant au fléau de longueur l' et sur l'autre plateau m kg de fruit à l'équilibre 1l'=ml=>m=l'/l

le marchand réalise 900 pesées du type a )et 900 pesées du type b )
il a donc fourni à ses clients
900(m'+m)=900(l/l'+l'/l)= 1810

je pose l'/l=z donc z<1
on a donc90(1/z+z)=181
z est donc solution de (E):
90z²-181z+90=0
(E) admet deux solutions inverses l'une de l'autre on en déduit l'/l=9/10

le marchand a réduit un fléau de 1/10 de sa longueur
merci pour cette enigma

Bonsoir Monrow

En fait je ne suis pas sur d'avoir bien compris l'énoncée de l'énigme même après ton explication, mais bon je vais pas te demander plus d'explication, je vais me lancer et répondre en se basant sur ce que j'ai compris et tanpis si je remporte le poisson car j'ai plutot rien à craindre ce mois ci surtout que je ne figure même pas dans la liste des 25 premiers .
Le marchant a fait 1800 pesées donc automatiquement il remportera 1800 fois le prix d'un seul kilogramme, en fait il me parait que cette phrase n'a rien à fournir en tant que donnée (un piège peu être ...).
maintenant revenons au 10 kilos qui manquent:
Soit x le nbre de pesées dans lesquelles notre tricheur a triché (x doit bien évidament être < 1800/2=900 pour bien avoir un manque de kilos à la fin de la journée).
(1800-x) sera donc le nbre de pesées avantagées.
soit q le nbre de kilos réduit du fléau ce qui nous donne x.q kg gagnés par le marchands et (1800-x)q kg perdus on obtient alors l'équation suivante:
x.q - (1800-x)q = -10 ==> q = 10/(1800-2x) kg

et voilà j'ai du mal à imaginer un smiley pour cette réponse mais bon je prends le risque comme d'habitude et comme on dit qui ne risque rien n'a rien .

Bonjour à tous!
Le marchand a réduit la longeur du fléau de 1/10ème.
Il aurait aussi pu décaler son levier d'1/19ème, ce qui est plus discret...

Notre marchand de fruit a réduit le bras du fléau de 10%.

Ainsi, les clients malheureux ont acheté 900g au prix du kilo,
tandis que les chanceux ont eu pour le même prix.

Après 1800 pesées de 1 kg, notre marchand aura 'offert' 10 kg à ses clients.

Bonsoir,

le fléau a été réduit de 10%.

de 1/10 de sa longueur

Bonjour,

La réduction du fléau est d'1/10, de sorte qu'1 "kilo" pesé, vaut tantôt 0.9 kg, tantôt 10/9 kg 1.111 kg.

Au bout de 1800 pesées alternées, on a bien vendu 1810 kg de fruits.

Merci pour l'énigme,
gloubi

Bonjour,

le fléau avait été réduit de 10% de sa longueur initiale.

Merci et A+, KiKo21.

P.S. le fait d'allonger de 1/9^ème (11,1%) le fléau aurait eu le même résultat.

Si x est le rapport de réduction du fléau, le poids réel de deux "kilos" de fruits pesés successivement est x+1/x>2, et le déficit est donc (1-x)^2/x.
Nous avons donc (1-x)^2/x=10/900 donc 90(1-x)^2-x=0 ou x^2-181x/90+1=0 donc x=(181-rac(181^2-180^2))/180=(181-rac(361))/180=(181-19)/180=162/180=0,9
Le fléau a donc été réduit de 10%

Ben 10 je pense !!

bonjour,
j'aurais bien aimer pour une fois faire la série complète mais je ne comprends pas bien le texte:je pense que l'on demande de trouver les entiers premiers avec tous les termes de la suite(u_n) dans le doute je m'abstiens :je ne joue pas ne me mets pas un poisson

désolée je me suis trompée d'énigme c'est celle des entiers premiers la 19 que je ne fais pas je pense que tu as compris

Soit x un réel strictement compris entre 0 et 1.
C'est le rapport de la longueur du fléau réduit sur la longueur du fléau inchangé.

Soit g, le poids exercé sur le fléau de gauche (de longueur normale)
et soit d, le poids exercé sur le fléau diminué.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que g = x.d

Si f est le poids des fruits, on aura alternativement :
f = x
1 = f.x

Donc, une fois on aura f = x et le coup suivant f = 1/x
Après 1800 pesée, on aura fait 900 fois cette alternance, donc le poids de fruit vendu sera :
900.(x + 1/x)

Comme il manque 10 kg au vendeur, c'est qu'il en a vendu 1810. Donc :
1810 = 900.(x + 1/x)

C'est une équation du second degrés donc la seule solution inférieure à 1 est 9/10

Donc le fléau diminué mesure 9 dixièmes de la longeur de l'autre fléau.

Le fléau a été diminué de 10%.

Bonjour,
le bras a été raccourci de 10%

Soit a la longueur du bras non trafiqué, et b celle du bras raccourci.
=>  a>b
soit l=b/a le rapport des deux bras.
=>  0<l<1

Soit p le poids de fruits vendu pour un kilo lors de la tricherie
=>  p*a=1*b
=>  p=l

Soit p' le poids de fruits vendu pour un kilo lors de la punition
=>  p'*b=1*a
=>  p'=1/l

Au bout de 900 pesées de p kilos de fruits et 900 pesées de p' kilos de fruits, le marchand a en fait écoulé 1810 kilos de fruits

=> 900(l+1/l)=1810

On résout l'équation (en rappelant que l<1) pour trouver l=9/10

Je ne comprends pas le sens de la phrase

citation :
En faisant 1800 pesées d'un kilogramme pendant une journée, c'est 1800 fois,euuuuh ... (), le prix d'un seul kilogramme de fruits qu'il touche !

Est-elle là pour nous permettre de calculer les longueurs effectives des branches, et pas seulement le rapport de leurs longueurs ?


  
  
  

Si le long côté vaut 1 :
Le petit vaut 0.994459876424137
Ce qui donne une réduction de 0.005540123575863



A+
Torio

Bonjour,

On pose L la longueur initiale des deux fléaux et d la longueur retirée à l'un d'entre eux.
Le fléau réduit a donc pour longueur L - d.

Lorsque le marchand place un poids de 1 kg sur le fléau réduit, il pèse en réalité une quantité de fruits égale à (L - d)/L
Et lorsqu'il place un poids de 1 kg sur le fléau non réduit, il pèse en réalité une quantité de fruits égale à L/(L - d)
Après un total de 1800 pesées (900 suivant la méthode 1 et 900 suivant la méthode 2, il a perdu 10 kg de fruits, ce qui donne l'équation suivante :
900 L/(L - d) - 900 (L - d)/L = 10
Soit, après réduction au même dénominateur et simplifications :
d² - 91L d + L² = 0
d étant l'inconnue et L un paramètre.
On obtient   d 0,01 L

Le fléau a donc été réduit d'un centième de sa longueur initiale.

Il réduit l'un des fléaux de 10%
Soit l longueur initiale des fléaux
soit x la réduction x>0 d'où longueur du fléau réduit l-x
soit m la masse vendue
soit m' la masse référence (1kg)
masse référence côté fléau le plus court
m'(l-x)=ml ==>m=(l-x)/l  on remarque que m<1
masse référence côté fléau  initial
m'l=m(l-x)===>m=l/(l-x)  on remarque que m>1
il effectue 900 pesées de chaque sorte et il vend 1810 kg
900[(l-x)/l +l/(l-x)]=1810
90x²+lx-l²=0
=361*l²
=19l
x>0   x= 10l
x/l=10

90r²+r-1=0

soit il a réduit de 10% son fléau...

ENIGME CLOTUREE

Bon la longueur du fléau qu'on peut réduire non? sinon j'ai compté même les réponse avec 10% mais avec le poids !

assiadu69500>> 10 quoi? je peux pas deviner ...

Sinon, y a des personnes qui ont pris la peine de résoudre la solution(), bon en général, tout le monde a rapporté le problème à une équation de deuxième degré...

Même ceux qui n'ont pas développé ou bien ou je soupçonne un petit (grand?) manque de rigueur ont pris leur smiley, puisqu'un raisonnement n'était pas obligatoire.

Merci pour votre participation !