Enigme de clemclem 6

Posté par clemclem clemclem

Bonjour à tous et à toutes,

Voici l'énigme du mercredi :
Charles décide de grimper au sommet d'une colline.La montée est par moment difficile à d'autres moments faciles, il avance donc à une vitesse non constante.La montée lui prend la journée...
Le lendemain matin il commence la descente , sa vitesse de descente est non constante,à la fin de la journée il est rentrer chez lui...

La question est la suivante :
Existe-t-il un endroit de la descente pour lequel Charles est passé au même moment le jour de la montée ?

Pour avoir la réponse validée vous devrez fournir un raisonnement cohérent ainsi que la réponse à la question

Bonne chance

Posté par franz franz

La réponse est oui, il existe un endroit où Charles se trouvait au même instant le jour de la montée (si l'on suppose qu'il n'y a qu'un chemin emprunté pour la montée et la descente).

On peut justifier cela par le théorème des valeurs intermédiaires.
Si on considère  :
- x dans l'intervalle [0 1] qui correspond à l'instant de la journée (exprimé en %).
- y dans l'intervalle [0 1] la position de Charles sur la colline (y=0 correpondant au pied, y=1 au sommet).
- f la fonction qui à chaque instant de la journée de montée associe la position y
    (f(0)=0 et f(1) = 1)
- g la fonction qui à chaque instant de la journée de descente associe la position y
    (g(0)=1 et g(1) = 0)

la fonction g-f correspond à l'écart de position (algébrique) de Charles à chaque instant des deux journées. Cette fonction est continue et à valeur dans [-1,1] avec
(g-f)(0) = 1 et (g-f)(1) = -1
les fonctions f, g et g-f sont continues. Il existe donc une valeur (au moins) de x₀) pour laquelle (g-f)(x₀) = 0. cette valeur de x₀ correspond à un instant où Charles se trouve au même endroit au même moment de la journée.

Autre raisonnement (moins mathématique mais plus simple et qui revient au même).
Imaginons que Charlot, le frère jumeau de Charles escalade la colline le jour où Charles descend au rythme strictement identique à celui adopté par Charles la veille. Comme Charlot part du pied de la colline au moment où Charles amorce sa descente et qu'il est arrivé au sommet quand Charles est en bas, il y a bien un endroit où Charles et Charlot se sont rencontrés.

Posté par Ben (invité)

Il peut en excister un mais ce n'est pas obligatoire.
Admettons que la journé dure 9 h, et que la coline face 30 km
(ne pas regarder trop les chiffre ils osnt pris au hasard )
Si en montant charles a mis 8h59 pour arriver a 100 du sommet. Puis une minute pour le reste. Lors des 100 prmeeir mettre il avait mis 20sec.
Si charles descend dans le meme temps soit en 9h, si il met 10 sec pour arriver a 100 m de l'arrivé (en bas de la colline), comme il aura mis 20 sec dans la montée pour ces 100m il ne se seraait pas passser au meme endroit au meme moment de la journé.
Le charles descendant il lui reste 8h59'50", si on considere qu'il fait les 100 derneir metre a allure rzeguliere et que le premier aussi , le temps ne sera jamais le emme en un point. (Je reprecise que l'es chiffre ne sont al que pour expliquer, ce ne sont pas des donné réelle sinon Green a du soucis a ce faire )

Donc la remponse a la question est non

Posté par gilbert (invité)

soit m(t) la fonction qui, au cours de la montée du 1er jour, donne l'altitude en fonction de l'heure de la journée.C'est une fonction  continue et strictement croissante (l'alpiniste ne descend pas)

soit d(t) la fonction qui, au cours de la descente  du 2ème jour, donne l'altitude en fonction de l'heure de la journée.C'est une fonction  continue et strictement décroissante (l'alpiniste ne remonte pas).

La fonction f(t) = m(t) - d(t) est donc une fonction croissante et continue.
Sa valeur en début de journée est négative et celle en fin de journée est positive.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une valuer et une seul où elle s'annule.

Il existe donc un t0 tel que m(t0) = d(t0), donc où les altitudes sont les mêmes.

Il existe bien un endroit de la descente pour lequel Charles est passé au même moment le jour de la montée.

Posté par ofool ofool

Bonsoir,

  Soit f(t) la fonction représentant l'altitude en fonction de temps lors de la montée: C'est une fonction  globalement croissante; La fonction g(t) pour la descente sera elle décroissante. Ces deux courbes vont obligatoirement se croiser: ce point commun aura une abcisse t' qui repond à la question .(f(t')=g(t') défini l'endroit commun .  

Posté par siOk siOk

Bonjour,


Modélisation
Soit t la durée, en heures, écoulée depuis le premier jour à 00 h 00.
Pour chaque t, on définit d(t) qui représente la distance,  en km, entre la position de Charles et la position de départ.

Par exemples:
- pour t=0 : Charles se trouve au lieu de départ, noté A, donc d(0) = 0
- pour t=24 : Charles se trouve au sommet de la colline, noté B, donc d(24) = AB
- pour t=48 : Chales est revenu au point de départ donc d(t)=0

Remarquons que pour t entre 0 et 24:
d(t) représente à quelle distance du point A se trouve Charles
d(t+24) représente à quelle distance du point A se trouve Charles le lendemain exactement à la même heure.

Le problème revient à trouver t entre 0 et 24 tel que: d(t)=d(t+24)



Résolution
Considérons la fonction f sur [0 ; 24] définie par f(t) = d(t) - d(t+24)

Comme
   f(0)  = d(0) - d(24) = - AB
   f(24) = d(24) - d(48) = AB
   f est "continue" (pas de saut !)
d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe t tel que f(t) = 0  donc d(t) = d(t+24)

Posté par claireCW (invité)

Oui, il y aura un instant t où il sera au même endroit, au même moment.

Imaginons qu'une deuxième personne fasse le trajet de la montée, le jour où le premier descend, en respectant exactement la vitesse du premier la veille. Ces deux personnes vont nécessairement se croiser en chemin.

Cela signifiera qu'au moment où ils se croisent, celui qui monte est au même endroit que celui qui descend, et aussi au même endroit que celui où le premier était la veille à la même heure.

Il doit aussi y avoir moyen de créer deux suites, en utilisant des dichotomies, mais ce raisonnement me semble plus pragmatique, et beaucoup plus simple à mettre en oeuvre.

Posté par titoondudu (invité)

le probleme posé est le mm ke celui-ci:
données:à t=0 on considere deux bonhommes A et B partant chacun d'un bout dun troncon de route représenté par un axe gradué ayant x1 et x2 comme extrémités x1<x2. A et B rejoignent l'autre coté de la route à la fin de la journée (t=t1)
est ce que A et B se croisent?
resolution
on considere Xa(t) la position de A et Xb(t) celle de B à l'instant t
à t=0: Xa(0)=x1 Xb(0)=x2
à t=t1 Xa(t1)=x2 Xa(t2)=x1
comme les deux bonhommes marchent "sans fere de bonds" Xa et Xb st continues
raisonons par l'absurde:
supposons pour tt t tel ke 0=<t=<t1  Xa(t) different de Xb(t) comme Xa et Xb st continues ca implik ke pr tt t Xa(t)<Xb(t) dc pour t= t1  Xa(t1)<Xb(t1)
donc x2<x1 absurde dc il existe un t tq Xa(t)= Xb(t).

Posté par clemclem clemclem

Voilà l'énigme est terminée.
Bravo à vous tous et à mercredi prochain.