Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite

Bonjour

Un problème plutôt mathématique maintenant ^^

On se propose d'établir une petite propriété remarquable de la suite suivante

avec

Votre mission !





Un raisonnement est indispensable pour avoir son smiley !
L'utilisation d'un programme ou d'une calculatrice ou de n'importe quel outil informatique est interdite !

A vous de jouer

Bonjour et encore merci à Monrow.

D'abord la réponse:

Les nombres premiers avec tous les termes de la suite sont les produits d'une puissance de 3 et d'une puissance de 7

Maintenant la justification:

Cherchons ces nombres par leurs facteurs premiers, qui ne doivent donc diviser aucun terme de la suite.
On est ramené à chercher les nombres premiers qui ne divisent aucun u_n.

C'est le cas de 3 car on voit facilement que tous les u_n sont congrus à 2 modulo 3.
C'est aussi le cas de 7, les seuls restes possibles étant 2,4 et 5.

Mais c'est tout, car

*2 divise u_1
*43 divise u_9
* Pour p premier différent de 2,3,7 et 43, p divise u_(p-2). Pour s'en assurer, il suffit de vérifier que le produit 4*3*7*43*u_n est divisible par p.
Or ce nombre N s'écrit


On sait (Fermat) que , .. sont congrus à 1 modulo p.

Donc N est congru, modulo p, à
, qui est nul.

3 et 7 sont les seuls nombres premiers qui ne divisent pas tous les u_n. D'où le résultat.

salut j'espere bien que ca sera une bonne reponse

Cette satanée énigme valait bien 4 ou 5 étoiles.
Pour n>0, un = 3ⁿ + 4ⁿ + 6ⁿ + 7ⁿ + 12ⁿ + 43ⁿ + 1806ⁿ - 1.
On remarque au départ que 1806 = 6*7*43
De plus, lorsque qu'on ajoute les inverses des entiers concernés et qu'on réduit au même dénominateur on obtient :
1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7+ 1/12 + 1/43 + 1/1806 = 3612/3612 =1
D'après le petit théorème de Fermat :
Soit p un nombre premier et a un entier premier avec p, alors a^p  = a (p) ou a ^p-1=1 (p)
Si p est un nombre premier différent de 2, 3, 7 et 43, alors :
3^(p-1) = 4^(p-1) = 6^(p-1) = 7^(p-1) = 12^(p-1) = 43^(p-1) = 1806^(p-1) = 1 (p)
On en déduit : 3612* 3 ^(p-1) = 3612 (p) ou 3612* 3 ^(p-2) = 3612 *(1/3) (p).
On effectue la même opération pour 4,6,7,12,43 et 1806, ce qui donne :
3612 * u _p-2 = 3612*(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/43 + 1/1806 - 1)
D'après la remarque concernant la somme des inverse, on en tire que  3612 * u _p-2 = 0 (p).
Pour tout p premier différent de 2, 3, 7 et 43, u _p-2 est multiple de p.
Tout nombre combinaison de nombres premiers (N = p1 ^a * p2 ^b*…)où intervient au moins un nombre premier différent de 2,3,7 ou 43 n'est donc pas premier avec les termes de u_n.
Reste le cas de 2,3,7 et 43
- p=2 ne convient pas puisque u _n est pair (étude de parité),

- pour p=3, on obtient u_n = 4ⁿ + 7ⁿ + 43ⁿ -1= (1)ⁿ+(1)ⁿ+ (1)ⁿ -1= 2  (modulo 3)
p=3 convient donc.

- pour p=7, on obtient
u_n = 3ⁿ + (-3)ⁿ + (-1)ⁿ + (-2)ⁿ + 1ⁿ - 1 = 3ⁿ + (-3)ⁿ + (-1)ⁿ + (-2)ⁿ (modulo 7).
En calculant les 6 premières valeurs de u_n, et en utilisant le fait que a^6+k= a ^1+k (modulo 7) pour a premier avec 7, on déduit que u_n ne prend jamais de valeur nulle modulo 7.
Donc 7 convient.

- pour p=43 enfin (ce fut assez long).
On utilise le fait que a ^p+1(43) = a ^p (43) * a (43), pour a=3,4,6,7 et 12.
Pour p=9, on trouve u₉ = -11 + 16 + 1 -1 -4 -1= 0 modulo 43.
Donc 43 ne convient pas.

Les nombres entiers qui sont premiers avec tous les termes de la suite  u_n, sont donc de la forme 3^a*7^b, a et b appartenant à .

Soit P l'ensemble des nombres premiers premiers avec tous les u_n .
Remarque : 1806=2.3.7.43    .  
Soit p un nombre premier distinct de 2, 3, 7, 43 .
Par le petit theoreme de Fermat, et en travaillant dans Z/pZ on a:
u_(p-2)=u_(-1)= (1/3)+(1/4)+(1/6)+(1/12)+(1/43)+(1/1806)-1=0  .
Ainsi p divise u_(p-2).
Par ailleurs pour savoir si un nombre premier est dans P il suffit
(par le petit theoreme de Fermat) de verifier que u_1,...,u_(p-1)
ne sont pas des multiples de p.
On voit ainsi (a la main) que 3 et 7 sont dans P mais pas 2 .
Pour 43 les calculs sont fastidieux et me cassent les pieds...
Bref : les nombres qui sont premiers avec tous les u_n sont ceux
qui n'ont que 3 et 7 (et 43 s'il est dans P) comme facteurs premiers.

*challenge en cours*

je suis désolé, je n'avais pas compris le fonctionnement des énigmes officielles... si vous pouviez ne pas compter ma réponse... Je vais chercher pour donner ma réponse plus tard...
merci...

Bonsoir Monrow

Ce problème ressemble à un exercice proposé dans l'olympiade international 2005, mais celui ci est plus compliqué (j'aurais mis 4 étoiles pour cette énigme !!)
Ma démo va utiliser dans sa première partie le petit théorème de Fermat
soit p un nbre premier autre que 2,3,7 et 43 (donc p>3)
donc selon fermat: 3^p-1 1[p](1), 4^p-1 1[p](2) , 6^p-1 1[p](3), 7^p-1 1[p](4),  12^p-1 1[p](5) et 43^p-1 1[p](6), 1806^p-1 1[p](7)
on remarque que PPMC(3, 4, 6, 7, 12, 43, 1806) = 3x4x7x43 = 3612
ainsi donc (1)==>3612 x 3^p-21204[p] (car 3612=3x1204)
de même (2)==>3612 x 4^p-2903 [p]
(3)==> 3612 x 6^p-2602 [p]
(4)==> 3612 x 7^p-2 516 [p]
(5) ==> 3612 x 12^p-2 301 [p]
(6) ==> 3612 x 43^p-2 84 [p]
(7) ==> 3612 x 1806^p-2 2[p]

on obtient donc 3612 x (3^p-2+4^p-2+6^p-2+7^p-2+12^p-2+43^p-2+1806^p-2-1) 1204+903+602+516+301+84+2-3612 [p] 0 [p]
==> 3612 U_p-2 0[p] or 3612 n'est pas divisible par p donc p divise U_p-2.
ainsi tout nbre premier p différent de 2,3,7 et 43 divise le (p-2) ème terme de Un, donc p n'est pas premiers avec tous les termes de la suite.
_________________________________________________

Revenons à ce qui reste des nbre premiers:
avant de commencer y a une petite propriété que je vais demontrer avant d'utiliser (car je ne suis pas sur que ce soit un théorème):
ce que je vais demontrer c'est le suivant: pour tout entiers a,b et pour tout n on a (a+b)ⁿaⁿ["b"]
en effet en utilisant le binôme de Newton on obtient (a+b)ⁿ= _k=0-->n C_n^ka^kb^n-k = b._k=0-->n-1 C_n-1^ka^kb^n-k-1 + aⁿ aⁿ ["b"] d'ou (a+b)ⁿ aⁿ["b]

-/ p=2 : on remarque facilement qu'il y a 4 termes paires et 4 termes impaires leur somme donnera toujours un nbre paire donc tous les termes de U_n sont paire donc ne sont pas premiers avec 2.

-/ p=3: on a 3ⁿ, 6ⁿ, 12ⁿ et 1806ⁿ sont tous des multiples de 3 donc Un 4ⁿ + 7ⁿ + 43ⁿ - 1 [3]
(selon la propriété si dessus) 4ⁿ=(1+3)ⁿ 1 [3]
7ⁿ = (6+1)ⁿ 1 [6] 1 [3]
43ⁿ = (42+1)ⁿ 1 [42] 1 [3]
d'ou Un 3-1 [3] 2 [3] ==> 3 ne divise aucun terme de Un donc 3 est premier avec tous les termes de Un.

-/ p=7: on sait que  7ⁿ et 1806ⁿ sont des multiples de 7 donc Un 3ⁿ + 4ⁿ + 6ⁿ + 12ⁿ + 43ⁿ-1 [7]
4ⁿ = (7-3)ⁿ (-3)ⁿ [7]
6ⁿ = (7-1)ⁿ (-1)ⁿ [7]
12ⁿ = (14-2)ⁿ (-2)ⁿ [14] (-2)ⁿ [7]
43ⁿ = (42+1)ⁿ 1 [42] 1 [7]
D'ou Un (3)ⁿ + (-3)ⁿ + (-1)ⁿ + (-2)ⁿ [7]

on a :
*/ (3)¹ 3[7]
*/ (3)² 2[7]
*/ (3)³ 6[7]
*/ (3)⁴ 4[7]
*/ (3)⁵ 5[7]
*/ (3)⁶ 1[7]
*/ (3)⁷ 3[7]
ce qui nous permettra de déduire que :
*/ (3)⁶ⁿ⁺¹ 3[7]
*/ (3)⁶ⁿ⁺² 2[7]
*/ (3)⁶ⁿ⁺³ 6[7]
*/ (3)⁶ⁿ⁺⁴ 4[7]
*/ (3)⁶ⁿ⁺⁵ 5[7]
*/ (3)⁶ⁿ⁺⁶ 1[7] (on peut demontrer ceci par récurrence n...)

de même:
*/ (-3)⁶ⁿ⁺¹ 4[7]
*/ (-3)⁶ⁿ⁺² 2[7]
*/ (-3)⁶ⁿ⁺³ 1[7]
*/ (-3)⁶ⁿ⁺⁴ 4[7]
*/ (-3)⁶ⁿ⁺⁵ 2[7]
*/ (-3)⁶ⁿ⁺⁶ 1[7]


*/ (-2)⁶ⁿ⁺¹ 5[7]
*/ (-2)⁶ⁿ⁺² 4[7]
*/ (-2)⁶ⁿ⁺³ 6[7]
*/ (-2)⁶ⁿ⁺⁴ 2[7]
*/ (-2)⁶ⁿ⁺⁵ 3[7]
*/ (-2)⁶ⁿ⁺⁶ 1[7]


*/ (-1)⁶ⁿ⁺¹ 6[7]
*/ (-1)⁶ⁿ⁺² 1[7]
*/ (-1)⁶ⁿ⁺³ 6[7]
*/ (-1)⁶ⁿ⁺⁴ 1[7]
*/ (-1)⁶ⁿ⁺⁵ 6[7]
*/ (-1)⁶ⁿ⁺⁶ 1[7]

D'où:
n
*/U_6n+1 3+4+5+6 [7] 4 [7]
*/U_6n+2 2+2+4+1 [7] 2 [7]
*/U_6n+3 6+1+6+6 [7] 5 [7]
*/U_6n+4 4+4+2+1 [7] 4 [7]
*/U_6n+5 5+2+3+6 [7] 2 [7]
*/U_6n+6 1+1+1+1 [7] 4 [7]

d'ou n U_n0[7]
==> 7 est premier avec tous les termes de Un.


-/p=43: en essayant de procéder comme le cas de p=7 (c'est pas très intelligent je sais mais je vois pas comment procéder autrement) en arrivant au 9ème terme je trouve U90[43] donc 43 n'est pas premier avec tous les termes de Un.

voilà en espérant que je me trompe pas quelque part, la forme générale des entiers qui sont premiers avec tous les termes de Un est:

citation :
(-1)n x 3p x 7qavec p et q et n {0,1}

merci pour l'énigme .

1806=2*3*7*43, et l'on remarque que 1/3+1/4+1/6+1/7+1/12+1/43+1/1806=1.
D'une façon plus générale, si les ai sont des entiers tels que ∑1/ai=1, et si p>2 premier ne divise aucun des ai , ai^(p-1)-1 est multiple de p, donc ai^(p-2)-1/ai=pbi/ai et
∑ai^(p-2) -1=p ∑bi/ai, qui est un entier multiple de p : Les seuls nombres premiers qui peuvent être premiers avec tous les termes de la suite sont donc 2, et les diviseurs des ai.
Revenons au cas présent : il est facile de voir que un est divisible par 2, et, puisque 3n=6n=12n=1806n=0 (mod3) et 4n=7n=43n=1 (mod 3), qu'un n'est jamais divisible par 3. C'est un peu plus long pour voir qu'un n'est jamais divisible par 7 (il suffit de calculer les puissances de chacun des nombres modulo 7), mais que u9 est divisible par 43 . En résumé, les nombres qui sont premiers avec tous les termes de la suite sont composés à partir des facteurs premiers 3 et 7, donc de la forme 3^a*7^b

Salut monrow

Les entiers premiers avec tous les termes de cette suite sont .

Justif : pour tout n dans N, Un est un entier pair, donc les entiers répondant au problème sont nécessairement impairs.

Quant à justifier pourquoi ils ne doivent pas être multiples de 5 ... je ne vois pas

Mais bon, j'ai utilisé maple pour la conjecture, honte à moi

3^n, 6^n , 12^n et 1806^n=(3*602)^n sont divisibles par 3
4^n ; 7^n  et 43^n sont tous congrus à 1 ,modulo 3 pour tout n
comme 3*1=3 on a (4^n+7^n+43^n) est divisible par 3
et Un2 [3]
des entiers, premiers avec tous les termes de Un, ont pour forme 3k avec k*

ENIGME CLOTUREE

Bon, une énigme que personne n'a aimé

C'est vrai, elle méritait 4 étoiles ! mais bon

Merci pour votre participations !

ET VOILA !



UN GRAND GRAND BRAVO A ! QUI MERITE VRAIMENT SON SMILEY !

J'attends encore plein de smileys de sa part

Toutes mes félicitations rogerd tu le mérites amplement ce

Saloute

Monrow, je crois que tu t'es trompé : tu m'as donné un ...

Bravo rogerd >

Toutes mes félicitations Rogerd !!

bravo Rogerd

Merci à tous!
Avec les absences de certains et les étourderies commises par d'autres, j'ai eu quand même pas mal de chance!

Merci encore à Minkus, Jamo et Monrow qui nous avait concocté, pour ce mois de mars, toutes ces énigmes, variées et toutes intéressantes.

J'ai l'impression que, pour le mois d'avril, c'est reparti sur les chapeaux de roues!

Bonjour

rogerd>Bravo!

Guillaume>Ce n'était peut-être qu'un poisson d'avril!

juste une question, je te demande pas la source de cette énigme parce qu'après tu pourras plus utiliser cette source, mais tu l'a quand même pas inventer, parce qu'elle semble méchante vu ce qu'on dit certains...