Salut,

j'ai essayé par contraposée, mais je suis pas totalement sûr de ce que j'ai fait.

Soit H un sous-groupe normal de (n supérieur à 3),

trivial entraîne que H trivial.

Oui, en partant comme ça, on trouve que tous les éléments de l'interection de H et de An sont d'ordre 2, mais après...?

Donc ce sont des transpositions,

après on montre que l'on a au plus une transposition,

donc ou

ensuite si comme {1,...,n} a au moins trois éléments et que toutes les transpositions sont conjuguées entre elles, on peut montrer que si ,
H n'est pas distingué dans ce qui est contradictoire.

sauf erreur

T'es sûr que des élements d'ordre 2 sont toujours des transpositions ? Je croyais, mais si tu regardes plus loin dans l'exo, question 6, tu vois que les éléments du groupe de Klein sont d'ordre 2 dans S4 alors que ce ne sont pas des transpositions...

non je suis pas sûr

c'est faux d'ailleurs, on prend n'importe quelle permutation qui s'écrit comme produit de transposition où les supports sont disjoints. Je regarde ça.

Sinon la suite de ton raisonnement était bonne, je viens de la comprendre

Bonsoir.
J'ai du mal à imaginer un sous-groupe de Sn avec que des éléments de signature -1 à part Id. On en compose deux et c'est fini. La norma les composerait

oui donc un tel groupe aurait au plus deux éléments.

Oui si t'en composes deux, tu atteri sur un élément du sous groupe avec une signature +1, mais c'est peut-être l'iddentité... A ce moment là t'as pas trouvé d'élément de signature +1 autre que l'identité.

OK, Gael vient de trouver une réponse partielle, qui marche pour card(H)>2
Par l'absurde, on suppose que l'intersection entre An et H est triviale.
D'après le TD 1, card(AnH)=card(An)*card(H)>n!/2 * 2 > n! contradiction
Reste le cas card(H)=2

...qui pourrait être réglé si on montrait que les seuls éléments d'ordre 2 et de siganture -1 sont les transpositions.

mais tu l'avais déjà traité le cas card(H)>2 dans ton post de 19:39

à support disjoints pardon

Ah ok, je m'étais pas rendu compte que je l'avais traité le cas card(H)>2 mais maintenant que tu me le dis, je vois le truc...

bon si .

s est d'ordre de 2, sa décomposition en cycles disjoints est forcément un produit impair de transpositions, impair car de signature -1.

donc on a l'écriture en transposition à supports disjoints où et

si n est impair ou  si on peut trouver ,

,

le support de est disjoint du support des autres , donc et .

si je ne me suis pas trompé il reste à voir le cas où le support des forme une partition de {1,...,n} (ou trouver une autre façon de faire, moins fastidieuse )

ça ne change rien mais, il faut remplacer k+1 par 2k+1 à partout (pour dire que c'est impair)

Wow où tu vas chercher tout ça ?! Bon là j'avoue que j'ai du mal à te suivre, overdose d'algèbre sans doute, je crois que je vais m'arrêter là pour la soirée et que j'essaierai de comprendre demain matin.
En tout cas merci d'avoir passé du temps à taper ta réponse !

ok, je compte sur toi pour vérifier, je suis pas totalement confiant, bon et j'ai pas justifié tous les passages, c'est brouillon, donc si t'as des questions n'hésite pas.

Bon sinon je crois avoir résolu le cas où les supports forment une partition de {1,...,n}.
On verra tout ça demain.

OK, j'ai bien fait de reprendre ça aujourd'hui, je comprends mieux !
Oui, tout me semble bon, mais il y a une question que je me pose : pourquoi est-ce que tu poses p1<q1...<pk+1<qk+1 ? A t-on le droit déjà ? Et ça sert à quoi ? Je vois pas quand on s'en sert...

Et pour le cas n=2*(2k+1), tu fais comment ?
Si on écrit (quitte a renuméroter, je crois que je vois la réponse à mon post précédent du coup) :
s=(1,2)(3,4)...(n-1,n)
Alors (1,3)s(1,3)=(1,3)(1,2)(1,3)(3,4)(4,5)...(n-1,n)=(3,2)(3,4)(4,5)...(n-1,n), qui n'appartient pas à H. C'est ça ?

en fait c'est plutôt (on a un nombre impair de transposition).

on a le droit, quand on a une transposition qui échange i et j (i<j) on peut la noter (i,j), on fait ça pour toutes les transpositions et on peut écrire comme le produit des , et les dans l'ordre que l'on veut dans ce produit car les supports respectifs des sont disjoints.

En écrivant sous cette forme avec la condition , j'ai fixé l'ordre des et son écriture est unique.

Bon après j'ai écris ça parce que je le visualisais mieux comme ça, mais sinon c'est pas utile pour valider la démo,
disons qu'on voit mieux comme ça que les , sont deux à deux distincts.

Oui d'accord pour pi<qi, mais tu dois quand même renuméroter, non, pour dire que par exemple q1<p2 ?Sinon regarde par exemple (1,3) et (2,4)

ah oui, bien vu, (1,3) ne commute pas avec (3,4)... Au final j'ai donc (1,2)(3,4)(5,6)... ce qui est différent de s=(1,2)(3,4)(5,6) et donc c'est gagné...

(j'ai mis que le début des produits de transpo...)

houla j'ai fait n'importe quoi !
au final j'ai donc (1,4)(2,3)(5,6)... au lieu de s=(1,2)(3,4)(5,6)...

Seul bémol : est-on sûr que les seuls éléments d'ordre deux sont les produits de transpositions à supports disjoints ?

oui voilà, on conclut par unicité de la décomposition en cycles disjoints que la nouvelle permutaion est pas dans H.

J'ai pas regardé encore la suite de l'exo, j'espère que c'est un peu plus expéditif

La suite de l'exo me semble pas plus simple ; je suis allé jusqu'à la question 6, mais en trouvant des réponses sur internet des fois
En tout cas si tu galères je pourrai te faire suivre les réponses

Bien vu ! Ben voilà, ça achève la bête ; tout ça pour montrer qu'une intersection de groupes est non triviale... Merci bien pour ton aide !

ok, bon de toute façon c'est pas noté, c'est surtout pour se faire jauger pour la rédaction, au CC je me suis fait statué en copie brouillon, faut améliorer ça

salut

j'ai compris le cas |H|=2 par contre j'ai du mal à voir le cas |H|=2, enfin je vais regarder ça plus en détail.

Pour ma part je bloque sur la question (3) (oui...on a pas le même niveau ^^ ) :
An est un sous groupe de Sn d'indice 2 mais comment montrer que c'est l'unique?

Merci beaucoup

En raisonnant par contraposée tu veux montrer que HAn est trivial entraine que H est trivial non?
Pourtant tu arrives à la conclusion "H a au plus deux éléments".

Sinon merci d'avoir rédigé la démo, j'ai mieux compris, c'est juste la conclusion que je ne saisis pas bien.

Et c'est vrai que pour la (3) je suis passée un peu vite

dur ce dm, je sais même pas si je vais le rendre (je vais pas arriver à aller beaucoup plus loin à mon avis ...)

Sinon pour la (4), pour montrer que HAn, j'ai fait:

Soit ₃ le 3 cycle contenu dans H. H étant un sous groupe normal de S_n,
S_n,₃^-1H
Or si on note ₃=(i₁,i₂,i₃), on a :
₃^-1= ((i₁),(i₂),(i₃)).
Peut on en déduire que tous les éléments de H sont des 3-cycles?

Dans ce cas là on a bien HAn
(mais je suis vraiment pas sûre de moi^^).

Et pour montrer l'inclusion inverse je n'ai aucune idée.

oui c'est ce qu'on veut montrer pour un H normal dans .

On sait maintenant que H a au plus deux éléments, il faut aboutir à H n'a qu'un élément:
(c'est ce qu'on a fait quasiment tout ce fil ce week-end).

J'ai trouvé que les questions (3) jusqu'à (9) étaient plus accessibles que la (2), et on utilise plutôt des résultats du td1 que du cours.
Après c'est pas noté, mais au moins on a des commentaires sur notre rédaction, ils ont l'air très exigeant là-dessus

Pour ton post de 14:15,

tu peux trouver pour tout i une permutation telle que , et conclure du fait que est normal dans que (les (1,2,i) générent ).

Après tu en déduis facilement que ou .

Merci beaucoup, je vais me mettre au point sur (2),(3),(4) aprés je verrai le reste ...

ok si tu trouves pour (9) et (11) n'hésite pas à nous en faire part: groupe alterné