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Exercice sur les espaces vectoriels
BOnjour, j'ai quelques difficultés à faire cet exercice si vous avez une idée... Merci
Soit E un R-ev et soit F l'ensemble des morphismes 
de L(E) qui vérifient:
2 -7 + 12id =0.
1) Quels sont les réels 
pour lesquels id appartient à F ?
J'ai remplacé dans l'expression :
(id)2 -7id + 12id =0
ie id[2id +7id +12] = 0
d'où soit id=0
soit 2id +7id +12 = 0
mais là je ne vois pas trop comment le résoudre avec les id
Bonjour 
Attention, on a pas d'intégrité chez les applications linéaires.
On s'arrète à
ie (car Id est neutre pour la composition)
D'où
On doit donc avoir
A toi de résoudre.
Bonjour
Nghtmare>Tes écritures n'ont pas de sens, ce que tu écris dans la parenthèse n'est ni un endomorphisme, ni un nombre.
Le seul moyen que je vois est de traduire la relation de l'énoncé pour tout x, puis d'utiliser l'équivalence
(a.x)=0 <=>a=0 ou x=0.
Oui
Mais autant le traduire directement sur x.
Remarque c'est vrai, on a aussi un scalaire fois un vecteur (de l'espace des endomorphismes) = 0
dans ton écriture, donc on conclus de façon analogue.
Merci beaucoup pour vos réponses.
On me demande après de montrer que est un automorphisme et exprimer -1 en fonction de .
Il faut donc montrer que est un isomorphisme de E dans E.
Nous savons que est un endomorphisme de E dans E, mais comment montrer que est bijective ?
Avec plaisir
Pour ta nouvelle question, essaye d'écrire une expression du type .
Si tu y parviens (et ce n'est pas difficile du tout), tu auras prouvé que est inversible à droite, ce qui en dimension finie équivaut à l'inversibilité (c'est-à-dire à la bijectivité et au fait que son inverse
est également un morphisme) tout court.
Tigweg
Oui mais tu dois chercher à écrire cette relation sous la forme phi o psi = id, rien d'autre!
Que choisir pour psi dans ces conditions?
Ouh là pas du tout!
Pour tout scalaire t et tous morphismes f et g on a:
t.(f o g) = (tf) o g = f o (tg)
thanks a lot.
2 questions plus loin (après avoir montré que p=-3id est un projecteur de E)on me demande de montrer qu'il existe a
* tq q=a-4id) est un projecteur de E.
Cela suffit-il si je montre que q L(E) et qoq=q seulement si a=1 ou-1 ?
Oui mais tu n'as pas raisonné par équivalences, seulement par conditions nécessaires!
Il faut donc examiner qui parmi les candidats restants pour a conviennent effectivemen!
Je note f au lieu de phi.
Pour a =1,
f-4id est un projecteur ssi
f² - 8f + 16id = f-4id <=> f² - 9f +20id = 0 (*)
Or f² - 7f + 12id = 0
donc (*) est vrai ssi 2f - 8id = 0 <=> f = 4id
Or 4id n'est pas dans F, donc je maintiens que ça ne marche pas pour a = 1 !
Même si cela m'arrangeait pour une question plus tard : montrer que Imp + Imq =E
EN ayant déjà calculé poq, qop et p+q, Imp
Kerq, ImqKerp....
Je suppose qu'on a choisi a=-1 donc que ici?
C'est ce que je supposerai.
Tu ne l'as pas dit, mais il n'y a pas le choix car si p+q n'est pas l'identité le résultat à prouver devient faux!
Dans ce cas, on dit que (p,q) est une famille orthogonale de projecteurs.
De on déduit immédiatement que pour tout x de E on a:
d'où
.
L'inclusion réciproque étant évidente, on en déduit bien: .
Je pense malgré tout que tu dois prouver que la somme est directe, sinon les hypothèses dont on dispose ne servent à rien, de plus pourquoi se priver de cette cerise sur le gateau?
Soit donc .
On sait que donc
.
Or q étant un projecteur, cette intersection est réduite à {0}
(démonstration: donc
;
donc
.Alors puisque
il vient
soit
)
ce qui prouve le résultat.
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