Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

espaces vectoriels et porjections

Posté par
samia10
24-03-08 à 19:37

Bonsoir à tous
j'ai un petit souci avec l'exercice que voici
Soit E un Kev, soient p et q deux projecteurs,
a)montrer que p+q est un projecteur si et seulement si poq=qop=0.
b)Interpreter cette condition au moyen de Ker p, Im p, Ker q et Im q
c) montrer alors que Im (p+q) = Im p+ Im q et ker (p+q) = ker pKer q.
pour la a) c'est ok j'ai dabord montré que p+q est un projecteur en partant e l'hypothèse que poq=qop=0
puis je suppose que p+q est un projecteur et je montre qu' on a poq=qop=0
la b) et la c) me pose poblème ...
on sait qu'on a Ker p= Im q et Im p= ker q (d'aprés le cours)
mais j'arrive pas à faire la suite ...
merci de votre comprehension
et joyeuses faites de paques.

Posté par
soucou
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 19:42

faites de paques

Posté par
samia10
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 19:44

looooooooool
fetes*
j'ai mangé trop de chocolat sans doute!!!!

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 19:46

Salut

p+q projecteur => (p+q)²=p+q développe et compose par p par exemple

Posté par
samia10
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 19:50

merci mais la question  a) c'est ok je suis arrivée a la faire c'est la suite qui me pose probleme...

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 19:59

Ok

pour c)

Im (p+q) = Im p+ Im q

y € Im(p+q) => il existe x tel que p(x)+q(x)=y

donc y s'écrit sous la forme a+b avec a=p(x) € Im(p) et b=q(x) € Im(q) => y € Im(p)+Im(q)

y € Im(p)+Im(q) donc y=a+b avec a € Im(p) et b € Im(q)

(p+q)(a+b)=p(a)+p(b)+q(a)+q(b) Or Im p est dans Ker q et Im q est dans Ker p donc: (p+q)(a+b)=p(a)+q(b)=a+b=y donc y € Im(p+q)

je te laisse faire pour les Ker

Posté par
samia10
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 20:23

ok merci beaucoup
alors:
Ker (p+q)= ker pker q
xker(p+q)(p+q) (x)=0
on a donc p(x) + q(x) =0 et p(x) Im(p) et on a Imp= ker q donc p(x) ker q
de meme q(x) ker p
donc x ker p ker q

x ker pker q 0=a+b avec a = p(x) et b = q(x)
donc 0=p(x) +q(x)= (p+q) (x)
donc x ker (p+q).

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 20:43

Posté par
samia10
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 20:51

une derniere  question pour la b)
il suffit de dire que qu'on a Ker p= Im q et Im p= ker q
Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 20:53

pas égalité mais juste une seule inclusion

Posté par
samia10
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 21:09

oki merci.
bonne fin de soirée

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : espaces vectoriels et porjections 24-03-08 à 21:10

merci !

Bon courage



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !