Bonsoir à tous
j'ai un petit souci avec l'exercice que voici
Soit E un Kev, soient p et q deux projecteurs,
a)montrer que p+q est un projecteur si et seulement si poq=qop=0.
b)Interpreter cette condition au moyen de Ker p, Im p, Ker q et Im q
c) montrer alors que Im (p+q) = Im p+ Im q et ker (p+q) = ker pKer q.
pour la a) c'est ok j'ai dabord montré que p+q est un projecteur en partant e l'hypothèse que poq=qop=0
puis je suppose que p+q est un projecteur et je montre qu' on a poq=qop=0
la b) et la c) me pose poblème ...
on sait qu'on a Ker p= Im q et Im p= ker q (d'aprés le cours)
mais j'arrive pas à faire la suite ...
merci de votre comprehension
et joyeuses faites de paques.
merci mais la question a) c'est ok je suis arrivée a la faire c'est la suite qui me pose probleme...
Ok
pour c)
y € Im(p+q) => il existe x tel que p(x)+q(x)=y
donc y s'écrit sous la forme a+b avec a=p(x) € Im(p) et b=q(x) € Im(q) => y € Im(p)+Im(q)
y € Im(p)+Im(q) donc y=a+b avec a € Im(p) et b € Im(q)
(p+q)(a+b)=p(a)+p(b)+q(a)+q(b) Or Im p est dans Ker q et Im q est dans Ker p donc: (p+q)(a+b)=p(a)+q(b)=a+b=y donc y € Im(p+q)
je te laisse faire pour les Ker
ok merci beaucoup
alors:
Ker (p+q)= ker pker q
xker(p+q)(p+q) (x)=0
on a donc p(x) + q(x) =0 et p(x) Im(p) et on a Imp= ker q donc p(x) ker q
de meme q(x) ker p
donc x ker p ker q
x ker pker q 0=a+b avec a = p(x) et b = q(x)
donc 0=p(x) +q(x)= (p+q) (x)
donc x ker (p+q).
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