Bonjour,

ta proposition est clairement fausse si on ne sait rien du degré de Q.
En effet, le polynôme prend clairement des valeurs entières pour n+1 entiers distincts, pourtant ce n'est pas un polynôme à coefficients entiers donc il n'a aucune chance d'être combinaison linéaire à coefficients entiers des Nn.

MAintenant comme tu n'as pas précisé si Q était dès le départ supposé à coefficients entiers ou pas, peut-être que je suis hors-sujet(mais c'est de ta faute!)



Supposons Q de degré inférieur ou égal à n mais pas forcément à coefficients entiers.

si on pose , est racine de donc il existe un polynôme R à coefficients réels tel que



Utilise alors le fait que l'image par Q de x1 est un entier relatif pour en déduire que R(x1) est aussi un entier relatif, puis décompose R de manière analogue.
Conclus par récurrence et par un argument de degré que Q est nécessairement à coefficients entiers.

Enfin pour prouver que Q est combinaison linéaire à coefficients entiers de N0,...,Nn, remarque que les Nk sont échelonnés en degré et prouve par récurrence que pour tout k, X^k est combinaison linéaire à coefficients entiers de N0,...,Nk (c'est rapide).

Pars alors de la forme a priori du polynôme Q, sachant qu'il est de degré inférieur ou égal à n et à coefficients entiers, puis utilise ce qu'on vient de faire pour conclure.



Tigweg

PArdon, je voulais dire:

Citation :
est racine de

Ah, j'ai même pas vu, Q est de degré n. ça explique donc la combinaison linéaire. Je dois donc juste montrer que les a_i sont des entiers

Merci Tigweg.

une idée : regarder  Q(X+1)-Q(X)

Pas de quoi!
Heureux que je n'aie pas tapé à côté pour l'histoire du degré!