Salut

vérifie d'abord que les homothéties sont solutions

réciproquement: f homothétique ça veut dire qu'il existe tel que puis montre que ne dépend pas de x !

c'est

Bonsoir vous deux

Une piste de réflexion ...

Par hypothèse, pour tout x de E-{0}, il existe tel que . Il est clair que, pour fixé, est unique et, a priori, dépend de x.
Il faut montrer que ne dépend pas de x.

Pour ce faire, prends , et montre que, pour (x,y) libre et pour (x,y) lié,

Tu fais deux fois la même chose monrow (tu fais deux fois la synthèse).

La démarche c'est :
Soit f solution, je démontre que f est une homothétie.
Soit f une homotéthie, je démontre que f est solution.

Bonsoir Pece.

La méthode de monrow est celle du livre d'où je tire ma source (Algèbre et géométrie, Dunod), et elle est donc valable.

alors
xE, _xtq f(x)=_x.x
Montrons que lamba de x ne depend pas de x.
(x,y)E²:
si(x,y) libre: f(x)=_x.x
et f(y)=_y.y
f(x+y)=_x+y(x+y)
_x.x+_y.y =
_x+y(x+y) (Par linéarité)
soit(_x+y-_x)x+(_x+y-_y).y=0
et comme (x,y) est libre
_x+y-_x=_x+y-_y=0
donc _x=_y

maintenant (x,y) lié

si (x,y) lié:
alors il existetel que y=x
on a f(y)= f(.x)=.f(x)=_x.x
et f(y) =_y.y= _y.x
(_x-_y).x=0 donc_x=_y.
Donc ca ne dépend pas de x.

merci gui_tou et monrow egalement.
j'ai tout de meme une question pourquoi on traite les deux cas c'est a dire (x,y) libre et lié?

Comme ça on est sûr de traiter tous les cas.

Un couple (x,y) est soit libre, soit lié, donc si on montre que quel que soit ce couple dans E-{0}, lambda_x = lambda_y alors pour tout x de E, f(x)=lambda_x

Ah ok donc on a montré que f est une homotéthie.
et pour les endomorphismes fL(E).

rhoo en fait je ne comprends pas bien ce lien de montrer que f est une homothétie et la determination des endomorphismes fL(E)
?

bonsoir
tu as déterminé les endomorphismes tels que pour tout x (x,f(x)) est liée : ce sont les homothéties. que veux-tu faire de plus ?

ah d'accord!!
je comprenais pas je pensais qu'il fallait utiliser le fait que f soit une homothétie pour pouvoir determiner les endomorphismes...