Bonjour.

Quel est l'ordre du groupe A₄ ?

bonjour raymond,

son ordre est 12 et donc ce sous-groupe serait normal.

Oui il est normal dans S₄ en tant que noyau du morphisme signature.

J'ai regardé sur le net pour me remémorer tout cela. C'est étonnant A_n serait simple pour n > 4.

Salut

Une idée :

Si H est un sous-groupe de A₄ d'ordre 6 alors il est d'indice 2 et distingué.
On montre qu'alors (A₄/H) est abélien et que H contiendrait un sous-groupe K distingué d'ordre 4 isomorphe au groupe de Klein. On aboutit à une contradiction avec Lagrange.

oui c'est le but de l'exo en fait, il y a douze questions et il est dit qu'entre autres c'est la raison pour laquelle les équations polynômiales de degré >4 ne sont pas résolubles par radicaux.

Bon ça c'est une des questions du milieu, je crois que j'ai trouvé,

je voulais dire en fait qu'un tel sous-groupe H est normal dans , j'aurai du préciser. , car son indice dans est 2.

Un tel sous-groupe H est isomorphe à  Z/6Z ou à ,

donc il contient un élément d'ordre 3, ie un 3-cycle et tout sous-groupe normal de qui contient un 3-cycle est égal à (une question précédente),

donc H serait égal à et c'est impossible.

ah non je me suis trompé, on sait pas si il est normal dans .

Je vais essayer ta proposition jord, merci.

Bonjour

Si, si, un sous-groupe d'ordre n/2 d'un groupe d'ordre n est distingué.

Mais ici, ça n'apporte pas grand chose. Le plus simple c'est de remarquer qu'un sous-groupe d'ordre 6 contient forcément un élément d'ordre 3 (donc un 3-cycle) et un élément d'ordre 2 (donc une double transposition). On voit très facilement qu'un 3-cycle et une double transposition engendrent A₄ tout entier.

Oui, les A_n sont simples pour n5.

ok, maintenant c'est clair.

Merci à vous

Je dois montrer que est le seul sous-groupe distinué propre de contenant strictement .

Pour cela je dois utiliser l'application  , mais je ne vois pas de quelle application on parle en fait.

Avec qui serait distingué normal dans et et contenant strictement .

ah oui pardon, désigne le groupe de Klein.

Voilà où je bloque aussi...

Je ne comprends pas cette indication, dans le cours on a montré qu'il y autant de sous-groupes normaux dans que de sous-groupes normaux de qui contient .

Or qui n'admet que trois sous-groupes normaux.

Donc il n'y a que trois sous-groupes normaux de qui contiennnent et on les connaît déjà  .

Bon après il y a la dernière question qui me pose problème aussi.

On suppose . Soient un un sous-groupe normal non trivial de .
On doit montrer que si contient une permutation alors il existe un 3-cycle tel que soit un 3-cycle.

On pose la longueur du plus long cycle dans la décomposition canonique de en produit de cycles,
et on montre suivant les cas , , que dans chaque cas contient un 3-cycle.

Déjà je galère pour le cas .

Hola,
j'avoue que j'y ai pas plus réfléchi, j'ai eu analyse hilbertienne jusqu'à 18h15, je viens de donner 1h30 de cours et maintenant il faut que je recopie mon brouillon ! Mon DM s'arrêtera donc là... J'ai quand même trouvé une solution pour cette question sur le web mais c'est long et compliqué donc j'ai pas eu le courage de m'y pencher dessus. Voilà le lien : http://www.dynamaths.com/docs/lecons/developpement_algebre_3.pdf , page 92, si ça t'intéresse

Ah zut j'ai pas mis le lien avec la petite maison et la flèche, ça aurait fait plus classe... ^^

merci.

mais bon je crois que je vais m'en arrêter là aussi.