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commutateur d'un groupe
Bonjour !
Pouvez-vous, s'il vous plait m'aider à démontrer ce qui suit :
(G,*) est un groupe.
[G,G]= {x*y*(x)^(-1)*(y)^(-1)} (c'est en fait l'ensemble des commutateur de G.
Démontrer que [G,G] est un sous groupe de G.
Si G est commutatif c'est facile. Mais là pour moi G n'est pas commutatif.
si je prends x*y*(x)^(-1)*(y)^(-1) et a*b*(a)^(-1)*(b)^(-1 deux éléments de [G,G], que puis dire sur :
x*y*(x)^(-1)*(y)^(-1) * a*b*(a)^(-1)*(b)^(-1) pour montrer qu'il est encore dans [G,G] et même chose avec l'inverse.
Merci beaucoup pour vos conseils !
Elotwist
Bonjour elotwist
Bien sur, si G est un groupe commutatif, tous les commutateurs valent e ce qui n'est pas très passionnant.
[G,G] est par définition le sous-groupe engendré par les commutateurs, justement parceque en général le produit de deux commutateurs n'en est pas un!
Il se peut que dans des cas particuliers ça soit stable pour la multiplication (ça l'est toujours par passage à l'inverse) mais je maintiens que ce que l'on note [G,G] est le sous-groupe engendré.
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