Personne pour une indication ?

Bonjour, Shake.

D'abord, il faut montrer que Sn est un ouvert de l'espace vectoriel des matrices symétriques.
Ensuite, tu considères l'application qui à A associe A^2 est injective (et même bijective de Sn sur Sn).
Enfin, tu montres que la différentielle de cette application est inversible.

Donc, l'application qui à A associe A^2 est un C^1-difféomorphisme de Sn sur Sn. Sa réciproque étant la fonction racine carrée ...

Déjà merci Perroquet
Alors juste pour vérification

+ pour prouver que Sn est ouvert dans l'espace vectoriel des matrices symétrique

j'ai posé l'application de Sn dans R+* qui à A associe une de ses valeurs propres

cette application est linéaire donc continue puisqu'on est en dimension finie

et donc Sn est l'image réciproque de l'ouvert R+* par une application continue donc est un ouvert

+ ensuite l'application qui à A associe A² est injective car son noyau est réduit à 0

+ sa différentielle est H -> AH + HA qui est linéaire est injective

en effet si AH+HA=0 on prend un vecteur propre x de A associé à la valeur propre b et alors AH(x)=-HA(x)=-bH(x) si H(x) est non nul alors -b est valeur propre de A or les valeurs propres de A sont strictement positives donc contradiction d'ou H(x)=0

On utilise le théorème spectral en diagonalisant A  dans une base e
Et alors H est nul sur tout vecteur de cette base e
donc H=0 d'ou l'injectivité
et finalement la différentielle est inversible grâce au même dimension des espaces de départ et d'arrivée

et donc on peut conclure


PS : Ici on a utilisé le théorème d'inversion global sauf erreur
     Est - ce qu'on aurait pu utiliser le théorème des fonctions implicites ?

Bonjour, shake

Pour la bijectivité de la différentielle:  c'est OK (et mieux que ce que j'avais trouvé)

Pour l'injectivité de l'application qui à A associe son carré: c'est non parce que cette application n'est pas linéaire. En fait, il faut utiliser l'exercice classique de Spé qui montre que, pour toute matrice B symétrique positive, il existe une unique matrice symétrique positive A dont le carré est égal à A (exercice dont la solution est très difficile à trouv

Erreur de manipulation, j'ai posté alors que je n'avais pas fini d'écrire mon message

Pour montrer que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est un ouvert de Sn(R): Ta démonstration est incorrecte puisque que l'application que tu as définie n'est pas linéaire. Il est exact qu'il y a un résultat qui s'appelle "continuité de l'application qui à une matrice de Mn(C) associe l'ensemble de ses valeurs propres", mais l'énoncé est difficile à écrire et sa démonstration l'est encore plus. Il y a une idée plus simple qui consiste à dire que si A est une matrice symétrique définie positive, alors, l'application qui à un vecteur x de R^n associe est continue sur la sphère unité, donc est bornée et attient ses bornes. Il existe donc m>0 tel que:

Et ensuite, on peut montrer qu'il existe un voisinage de A tel que, pour tout B de V::

Ce qui montre que B est symétrique définie positive ...

Bonjour perroquet

L'exercice classique de Spé qui montre que, pour toute matrice B symétrique positive, il existe une unique matrice symétrique positive A dont le carré est égal à A fait partie de mon cours

Le Résultat de cet exo assure que A-> A² est surjective et donc bijective grâce au même dimension de l'espace de départ et d'arrivée c'est ca ?

Par contre j'ai pas compris la démonstration du fait que Sn(R )est un ouvert :S

Pour la première question (13h24): attention, l'ensembles des matrices symétriques positives n'est pas un espace vectoriel. Par contre, l'exercice assure bien la bijectivité (pour toute matrice symétrique positive, il existe une unique matrice symétrique positive ...)

Pour la deuxième question:
Je préfère noter l'ensemble des matrices symétriques définies positives pour ne pas le confondre avec l'espace des matrices symétriques

Une matrice symétrique M est un élément de si et seulement si:  

J'ai déjà expliqué dans un précédent post que, si A est une matrice symétrique définie positive, il existe m>0 tel que:


On choisit comme voisinage de A la boule B(A,m/2). Tout élément B de ce voisinage peut s'écrire    B=A+M   avec   ||M|| < m/2.   Et on a, en  utilisant Cauchy-Schwarz, et avec une norme subordonnée d'application linéaire dans M_n(R):


Donc:


On en déduit, avec un raisonnement classique, que:


Ce qui prouve que B est symétrique définie positive.

Ah Yes Impeccable j'ai bien compris Merci Perroquet