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Niveau Maths sup
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espace vectoriel!!

Posté par
matrix001
28-03-08 à 17:31

Bonjour. j'comprend pas du tout cet exo.. si vous pourriez  m'aider ce serait sympa

Soit E un-espace vectoriel .

a) Soit fL(E) vérifiant f5=f.
Montrer que : E= Imf ker f.

b)Plus généralement, soit P= (k=0-->n) akXk [X] tel que P(0)=0 et P'(0)0.

Soit fL(E) tel que P(f)= (k=0-->n) akfk=0.
Montrer que : E=Imfker f.

Posté par
infophile
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 17:37

Bonjour

Déjà pour l'intersection :

3$ \rm x\in Im(f)\cap Ker(f) donc 3$ \rm x\in Im(f) et 3$ \rm x\in Ker(f).

Deux choses l'une : 3$ \rm \exist x'\in E, x=f(x') et 3$ \rm f(x)=0 d'où 3$ \rm f^2(x')=0

On compose par 3$ \rm f : 3$ \rm f^5(x')=0=f(x')=x donc l'intersection est réduite au vecteur nul.

Sauf erreur.

Posté par
infophile
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 17:47

Pour la suite voilà ce que je te propose :

3$ \rm f^5-f=0\Leftright f\circ (f^4-Id)=(f^4-Id)\circ f=0

Donc 3$ \rm \{Im(f^4-Id)\subset Ker(f)\\Im(f)\subset Ker(f^4-Id)

Ecrivons alors 3$ \rm x=f^4(x)+(x-f^4(x))

On a 3$ \rm f^4(x)\in Im(f) et 3$ \rm f(x-f^4(x))=f(x)-f^5(x)=0 donc 3$ \rm x-f^4(x)\in Ker(f)

A confirmer

Posté par
matrix001
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 18:12

salut

okay, j'vais essayer de comprendre tout ça!! merci de ton aide !!

Posté par
matrix001
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 18:26

salut.

alors je comprend que par composition on a:

f5(x)=0.

mais, jecomprend pas pourquoi cela est égal à f(x') :s

Posté par
infophile
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 18:30

Par hypothèse 3$ \rm f^5=f

Posté par
matrix001
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 19:01

ahhh ouais merci !

donc okay, on a montré que l'intersection c'etait le vect nul, mais ce que tu as fait après, en quoi ça montre que Imf et Kerf sont supplémentaires de E...
pourrais tu m'expliquer??

Posté par
infophile
re : espace vectoriel!! 28-03-08 à 19:21

Je ne suis pas sûr de moi, mais le but de la démo est de montrer que pour tout x de E on peut l'écrire comme somme d'un élément de l'image et du noyau, ici j'ai pris comme élément 3$ \rm f^4(x) et 3$ \rm x-f^4(x) qui appartiennent respectivement à l'image et au noyau de l'endomorphisme.

A confirmer



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