Niveau Maths sup

espace hilbertien et sous-espace fermé

Posté par
romu 28-03-08 à 22:46

Bonsoir, il y a un théorème du cours que je ne vois pas comment démontrer:

Citation :
Soient $(H,(.|.))$ un $\mathbb{K}$ -espace de Hilbert et $F$ un $\mathbb{K}$ -sous-espace fermé de $H$ ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Pour tout $x\in H$ , on a $3$P_{F^{\perp}}(x) = x-P_{F}(x)$ ,

ie $4$\fbox{x=P_F(x)+P_{F^{\perp}}(x)}$

Où $3$P_F(x)$ désigne l'unique $y\in F$ tel que $d(x,F)=||x-y||$ ( $||.||$ étant la norme associée à $(.|.)$ , et $d(x,F)$ est par définition $3$\inf_{f\in F} ||x-f||$ )

Comme idée de preuve, le prof nous propose les trois étapes suivantes:

i) on a $3$x-P_F(x)\in F^{\perp}$ car pour tout $v\in F$ , on a

$3$(x-P_F(x)|v)=0$ d'après la caractérisation de la projection $P_F$ sur un sous-espace vectoriel fermé $F$ ,

donc par définition de l'orthogonal de $F$ , on a $3$x-P_F(x)\in F^{\perp}$ ,

ii) Poser $x'=x-P_F(x)$ et montrer que pour tout $w\in F$ , on a $(x-x'|w)=0$

iii) De i) et ii) on déduit d'après la caractérisation de la projection sur un sous-espace vectoriel fermé à nouveau que $3$x'=P_{F^{\perp}}(x)$ .

Déjà pour la ii) je ne vois pas comment faire. Merci pour votre aide

Posté par re : espace hilbertien et sous-espace fermé 28-03-08 à 22:56

Salut

Voila comment j'aurais fait :

$3$\rm P_{F}(x)$ est la projection orthogonale sur F parallèlement à $3$\rm F^{\perp}$
$3$\rm P_{F^{\perp}}(x)$ est la projection orthogonale sur $3$\rm F^{\perp}$ parallèlement à F.

Soit x un vecteur.
F et son orthogonal étant supplémentaires, il existe $3$\rm x_{1}$ dans F et $3$\rm x_{2}$ dans $3$\rm F^{\perp}$ tels que $3$\rm x=x_{1}+x_{2}$

Alors :
$3$\rm P_{F}(x)+P_{F^{\perp}}(x)=\underb{P_{F}(x_{1})}_{=x_{1}}+\underb{P_{F}(x_{2})}_{=0}+\underb{P_{F^{\perp}}(x_{1})}_{=0}+\underb{P_{F^{\perp}}(x_{2})}_{=x_{2}}=x_{1}+x_{2}=x$ CQFD

Posté par re : espace hilbertien et sous-espace fermé 28-03-08 à 23:26

salut jord,

en fait $P_F$ et $P_{F^{\perp}}$ ne sont pas définis comme les projections orthogonales me semblent-ils,

pour tout $x\in F$ , on définit $3$d(x,F)=\inf_{y\in H} ||x-y||$ ,

ensuite on voit que cete distance est atteinte pour un unique $y_0\in F$ ,
on note alors $P_F(x)$ cet élément.

Et on ne sait pas encore que que $F$ et $F^{\perp}$ (l'orthogonalité vient aussi à peine d'être définie relativement au produit scalaire $(.|.)$ )
sont supplémentaires dans $H$ , c'est justement un corollaire de ce résultat.

Posté par re : espace hilbertien et sous-espace fermé 28-03-08 à 23:27

Pardon c'est plutôt:

"pour tout $x\in H$ , on définit $3$d(x,F)=\inf_{y\in F} ||x-y||$ "

Posté par re : espace hilbertien et sous-espace fermé 28-03-08 à 23:28

Ah oui effectivement j'ai pris le problème à l'envers.

Cela dit, pourquoi ne pas démontrer justement que Pf(x) correspond à une projection orthogonale?

Posté par re : espace hilbertien et sous-espace fermé 28-03-08 à 23:40

je ne sais pas, j'ai l'impression que c'est ce qu'il va faire au final.

Posté par re : espace hilbertien et sous-espace fermé 28-03-08 à 23:50

ok c'est ma faute, en fait c'est pour l'étape ii) du prof ça doit sûrement être $w\in F^{\perp}$ ,
du coup c'est plus clair, j'ai du être distrait quand je recopiais en cours

désolé pour cette perte de temps et encore merci jord

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