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Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g)

Posté par
gui_tou 28-03-08 à 23:31

Bonsoir à tous

Un exo de kholle anodin au premier abord ; pour le résoudre, le kholleur a parlé de projecteurs, mais je ne les ai pas vus en cours.

Citation :
Soit 3$\rm f et 3$\rm g dans 3$\rm \scr{L}(E) tels que 3$\rm f^2=f et 3$\rm g\circ f=0. Montrer que 3$\rm Im(f+g) = Im(f)+Im(g)


Et j'ai bloqué pour l'inclusion 3$\rm Im(f)+Im(g)\subset Im(f+g).

Soit 3$\rm x\in Im(f)+Im(g). On montre que 3$\rm x\in Im(f+g) ie : 3$\rm\exists t\in E, x=f(t)+g(t).
x est de la forme 3$\rm x=f(t_1)+g(t_2)  avec 3$\rm (t_1,t_2)\in E^2
... et là bloqué, je n'arrive pas à me servir des hypothèses.

Si vous avez des solutions qui n'utilisent pas les projecteurs, je suis intéressé !

Bonne soirée

Posté par
gui_toure : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 28-03-08 à 23:38

Ce qui serait bien, ce serait de montrer que 3$\rm t_2=t_1 !

Il se peut qu'il faille supposer que le t tel que x = f(t)+g(t) existe bel et bien, puis l'exprimer avec les données de l'énoncé.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 28-03-08 à 23:44

Salut guitou

traité y a pas longtemps espaces vectoriels et porjections

Posté par
infophilere : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 28-03-08 à 23:49

Salut guitou

Tu viens de voir ce qu'est un projecteur : un endomorphisme f tel que f² = f.

Salut monrow

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 28-03-08 à 23:50

Salut Kéké !

Msn?

Posté par
infophilere : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 28-03-08 à 23:53

Je n'ai pas regardé tes démos mais g n'est à priori pas un projecteur ici, c'est ennuyant ?

Posté par
gui_toure : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 29-03-08 à 11:02

Salut vous deux !

Merci monrow pour le lien , mais comme le dit kévin, g n'est pas un projecteur

En plus je ne connaît pas les propriétés des projecteurs (tu parles de Im et de Ker ..)

Merci en tout cas !

Posté par
perroquetre : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 29-03-08 à 11:35

Bonjour, gui_tou

En utilisant les notations de ton premier post:

x=f(t_1)+g(t_2)

f(t_1)= \big( f+g\big) \big(f(t_1)\big)

g(t_2)= f\big( t_2-f(t_2)\big) + g\big( t_2-f(t_2)\big)

Donc, tu avais raison:
il était possible de traiter l'exercice sans utiliser le cours sur les projecteurs.
Mais j'ai mis du temps à trouver cette solution  

Posté par
infophilere : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 29-03-08 à 11:38

C'est très astucieux ! Bravo perroquet

Posté par
gui_toure : Exo de kholle : Mq : Im(f+g) = Im(f)+Im(g) 29-03-08 à 11:47

Bonjour perroquet !

Oui oui c'est une astuce de ce genre que je cherchais ! Bien vu

Merci beaucoup


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