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Diagonalisation d'une matrice
Salut a tous
Je suis bloquee dans un exercice
Voici la matrice avec a et b deux parametres reels.
1/ calculer les valeurs propres et disuter leur multiplicite.
J'ai trouve le polynome caracteristique
P(x)=-(x+2)2(x-2a)
donc je dois discuter si a=-1 ou different de -1.
2/ A quelle conditions A est-elle diagonalisable?
si a=-1: l'ordre de multiplicite de -2 est egal a 3 mais dim(Ker(A-2I))=2
si non: l'ordre de multiplicite de -2 est egal a 2 mais dim(Ker(A-2I))=2 ssi a=-1, or on n'est pas dans ce cas.
D'apres ce que j'ai trouve A n'est pas diagonalisable pour tout a et b!!
Mais je dois trouver des conditons car la troisieme question est la suivante:
3/Trouver les matrices P et D telles que A=PDP-1, lorsque A est diagonalisable.
Vraiment je ne trouve pas ma faute.
Est ce que quelqu'un peut m'aider?
Merci d'avance.
Bonjour
C'est le polynôme caractéristique qui est faux! Comme la première et la dernière ligne sont opposées, la matrice n'est pas inversible donc 0 est valeur propre.
Bonjour!
Etes vous sûre du polynôme caractéristique?
La première et la dernière ligne sont opposées donc le déterminant est nul donc 0 est valzur propre.
Je m'exuse c'est une faute de frappe la matrice A=A=\(\array{-1-b & 0 & -1-2a-b\\1 & -2 & 1\\-1+b & 0 & -1+2a+b}\), donc le polynome caracteristique que j'ai trouve est juste.
Je m'exuse c'est une faute de frappe la matrice , donc le polynome caracteristique que j'ai trouve est juste.
Oui, dans ce cas c'est juste les valeurs propres sont alors -2 et 2a de multiplicités respectives 2 et 1
Mais je ne trouve pas la faute dans mon raisonnement.
Si c'est juste je peux pas repondre a la troisiemme question.
Si a=-1 rang(A+2I)=1 d'ou dim(ker(A+2I))=2 different de om(-2)=3.
Si a different de -1 dim(ker(A+2I))=om(-2)=2 ssi a=-1 ce qui est impossible.
je ne vois pas ce que tu dis: dim (ker)=1 c'est dans queele cas???
Cherchons Ker(A+2I)
On résout le système, on a directement : x=z=0 et y quelconque donc
ainsi Ker(A+2I)=Vect(0,1,0) 
ok d'apres ce que vous etes en train de dire
on a dim(ker(A+2I))=1 mais ordre de multiplicite de -2 est soit 2 soit 3. D'ou A n'est pas diagonalisable!!!
en effet, je refais mes calculs, il y a une erreur 
trouve x, y et z en fonction de a et b
de même pour l'autre valeur propre 2a
non le premier travail est juste.fais attention je pense que la 2eme ligne du systeme est x+z=0. n'est ce pas?
le pb n'est pas la.
le pb que:
dim(ker(A+2I))=1 mais ordre de multiplicite de -2 est soit 2 soit 3. D'ou A n'est pas diagonalisable!!!
donc qu'est ce que je dois dire pour la 3eme question?
je m'embrouille dans trop de calculs !
t'as la bonne idée mais tes caluls ne sont pas bons !
si a=-1, rg(A+2I)=1 et non 2
on resume:
j'ai trouve
si a=-1 rg(A+2I)=1
ce qui donne dim(Ker)=2 mais om(-2)=3
si adifferent de -1 rg(A+2I)=2
ce qui donne dim(Ker)=1 mais om(-2)=2
Donc dans les deux cas A n'est pas diagonalisable.
Est ce que c'est juste ce que je suis en train de dire?
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