Forum EXPRESSO de l'île des mathématiques :
[Demonstrations simples] Nombres opposés

Bonjour,

Juste peut-être pour aider quelques professeurs au cas où des élèves ne comprennent pas comment faire comprendre à ses élèves les nombres opposés...

Pour cela, il y a plusieurs systèmes :

1) L'avantage de celle-ci est que cette démonstration est très simple, et que les élèves peuvent la réaliser chez eux facilement...

Il faut être devant un miroir. On a l'impression qu'il y a autant d'espace de la personne jusqu'au miroir que du reflet de la personne jusqu'au miroir, non ? Voici dans quelle situation on est :

\          |          /

Il y a donc égale distance... Le miroir représentant le nombre zéro, donc le reflet est comme l'opposé de soi-même, et c'est comme ça qu'on obtient les nombres relatifs : le nombre négatif serait le reflet du nombre positif... D'ailleurs, si la personne s'éloigne ou se rapproche du miroir...

\                    |                    /

\     |     /

Le reflet est toujours l'opposé de la personne, car ils sont à égale distance du miroir, c'est à dire le nombre zéro...

2) Celle-là est un peu plus périlleuse, mais elle est quand même pour la beauté des mathématiques...

Soit une ligne de centre zéro tel quel :

__________|__________

Il y a aussi deux points tel quel :

\____________________/

En gros, avec le centre, ça fait :

\__________|__________/

On peut facilement remarquer que les deux points sont équidistants du centre, d'ailleurs, ici, le centre est même l'axe de symétrie entre les deux points... donc les deux points sont à égale distance de notre axe de symétrie... Si noux disons que la partie de droite est positive, et que la partie de gauche est négative, comme les deux points sont équidistants de l'axe de symétrie, donc sont superposables, le point de droite est alors l'opposé du point gauche et vice versa...

Peut-être que beaucoup de personnes vont trouver ce topic méprisant, mais les démonstrations sont pas mal, et l'avantage, c'est que la première peut être expliquée à un enfant de six ans assez facilement.

édit Océane : forum modifié

Pourquoi dans Détente ?

Je ne vois pas vraiment sa place dans "expresso" ou "collège"...

Je pense que ça irait mieux dans expresso, collège ou espace prof qu'ici. M'enfin ce n'est que mon avis.

citation :
Peut-être que beaucoup de personnes vont trouver ce topic méprisant,

Ne sois donc pas pessimiste ^^

C'est quoi la différence entre la première et la deuxième méthode, à part les ____ ?

salut,
moi j'ai pas vu la différence non plus entre les deux méthodes...
Si une personnes a du mal à comprendre les nombres opposés, il va vraiment passer des mauvaises années jusqu'au bac de maths. JE vois même pas comment on peut ne pas comprendre cette notion...

C'est le même principe (puisqu'on cherche à démontrr la même chose) sous des angles différents, la deuxième étant un peu plus difficile à comprendre que la première, car la première est appliquable sans maths...

Merci lucas951 de t'interesser à la pédagogie. Pour ma part, mes élèves ont toujous compris que -10 c'est quand on doit 10 francs (eh oui, je suis vieille) et +10 c'est quand on les reçoit...

salut camélia, et merci océane pour le déplacement

C'est sympa lucas, ça part d'une bonne intention ... mais je n'ai jamais vu qqun sur l' demander de l'aide à ce propos.
Si tu as du temps à "perdre", tu peux t'avancer sur le programme de seconde, non ?

citation :
On peut facilement remarquer que les deux points sont équidistants du centre, d'ailleurs, ici, le centre est même l'axe de symétrie entre les deux points... donc les deux points sont à égale distance de notre axe de symétrie...

Si tu arrives à nous placer le centre d'un segment de façon à ce que les deux extrémités de ce segment ne soient pas équidistantes de ce centre, appelle nous !

Bonjour à tous,

Il y a des tas d'applications pratiques des nombres négatifs : les graduations sur un thermomètre, s'amuser à compter les personnes qui montent dans l'autobus (+) et celles qui en descendent (-) à chaque arrêt... Et c'est encore plus simple à utiliser que l'histoire du miroir...

citation :
Si tu as du temps à "perdre", tu peux t'avancer sur le programme de seconde, non ?

C'est vrai que ce serait mieux... Mais comme j'étais furieux quand j'ai fait le post, je peux te dire, que, les leçons de seconde... Mais la leçons sur les ordres me paraît sympa, mais j'irai un peu plus tard...

citation :
Mais comme j'étais furieux quand j'ai fait le post, je peux te dire, que, les leçons de seconde...

Qu'est-ce qu'elles ont ? Trop fastoches ?

citation :
Merci lucas951 de t'interesser à la pédagogie. Pour ma part, mes élèves ont toujous compris que -10 c'est quand on doit 10 francs (eh oui, je suis vieille) et +10 c'est quand on les reçoit...

citation :
Qu'est-ce qu'elles ont ? Trop fastoches ?

Non, je voulais dire qu'on s'en moque légèrement...

C'est pas mon truc de dire que des leçons sont faciles sans vraiment les avoir vues...

Tu trouves pas ça intéressant les cours de 2nde ??

Bien-sûr que si, ça m'intéresse... Maus quand t'es furieux, tu n'y penses pas forcément au premier abord, si tu vois ce que je veux dire au lieu de me faire tourner en rond... Il m'arrive même de demander cinq minutes quelque chose à expliquer à mon prof, ou alors de m'aider dans ma recherche... J'ai vraiment de la chance d'avoir ce prof...

citation :
Tu trouves pas ça intéressant les cours de 2nde ??

On est censé répondre quoi, rassure moi ?

Je trouve ça intéressant, mais seulement avant l'année de seconde, en fait

Bonsoir

Pour les maths, je trouve que c'est interessant à partir de la première pas avant !

w@lid.

dellys >> cela ne concerne pas ton jugement, mais juste pour dire au cas où tu n'étais pas au courant qu'on parle des cours de seconde, pas des maths en général bien que je ne puisse rien dire sur les maths en général, ayant fait trop peu d'années de maths...

dellys ==> Je suis d'accord avec toi Il y a un grand pas...

je pense que ce qu'on fait au niveau du dessus est toujours intéressant, non ? En seconde tu t'intéresses au programme de première etc... en sup à celui de spé

Hélas ce n'est le cas que pour une toute petite minorité des élèves, même dans une matière (pas forcément les maths...).

Il était clair que je parlais des maths! Je n'ai pas lu les autres posts...
Je ne peux pas apporter un jugement sur les cours de seconde parce que, a part les maths, on a pas les mêmes programmes...

w@lid.

Le programme de seconde est très intéressant si on trouve des exos qui le sont. Par contre, je n'ai toujours pas compris pourquoi séparer le second degré de la seconde (équations, inéquations, études algébriques) du chapitre de première correspondant avec delta. Perso, c'est justement cette leçon que j'ai adoré! Des exos comme montrer que x⁴+4 n'est pas premier pour x>2, ou trouver tous les couples d'entiers naturels tels que 1+x+x²+x³+x⁴=y² deviennent faisables à partir de la seconde, et c'est ce pourquoi j'ai adoré ce programme.

Salut,

citation :
le centre est même l'axe de symétrie entre les deux points...

Attention lucas, il faut etre rigoureux dans l'expression

Un peu confus en effet

Et puis les problèmes sérieux avec les nombres négatifs surviennent surtout quand on commence à vouloir les ajouter, les soustraire etc...

Alors voici pour toi lucas 2 questions de Candide (élève de 4e) :

1) Comment expliquer que le rapport de quelque chose de grand sur quelque chose de plus petit 1/(-1) soit égal au rapport de quelque chose de petit sur quelque chose de plus grand -1/1 ?

2) Avec le recul que tu as, comment expliques-tu à un élève de 4e que le produit de deux nombres négatifs est positif ?

A toi de jouer.

minkus

1) Car quand il y a un nombre positif et un nombre négatif dans une fraction, toute la fraction est négative, quelque soit la place du nombre posotif et du nombre négatif...

2) Quand on multiplie deux nombres positifs, cela donnera un nombre positif. Le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est forcément négatif. Le produit de deux nombres négatifs entre eux est forcément positif car si on multiplie un nombre positif par un nombre négatif, cela donne un nombre négatif...

Autant dire que je ne suis pas du tout doué pour les explications...

Bonnes questions minkus, peut-être dans le Défi 204

Lucas, tu n'as fait que paraphraser pour la 2 ^^

C'est pourquoi j'ai dit que j'expliquais mal...

>minkus J'aimerais vraiment savoir comment tu fais pour le produit de deux négatifs

Moi aussi, ça me paraît être un peu absconque, même pour un professeur

Bonjour à tous

citation :
Juste peut-être pour aider quelques professeurs

Je ne crois pas que les profs aient attendu sur toi, ni qu'ils aient besoin de toi pour donner des explications à leurs élèves

Qu'est-ce que c'est énervant de lire des trucs pareils !

J'espère

Enfin, quand tu vois ma prof de 4°, on se le demandait très souvent...

C'est pas une histoire comme quoi est un monoïde mais pas un groupe ? Kévin me l'a expliqué plusieurs fois, mais j'oublie .. à chaque fois

Camélia :

C'est assez simple en fait. On utilise la distributivité en admettant qu'elle se généralise aux nombres négatifs.

Tu développes d'abord 3*(10-10) qui est nul. Tu obtiens 3*10 + 3*(-10) et cela prouve que 3*(-10)=-30. Cela peut aussi se faire avec (-10)+(-10)+(-10) qui est bien 3*(-10).

Tu développes ensuite le produit -3*(10-10) qui est nul aussi bien sûr. Tu obtiens alors -3*10 + (-3)*(-10).

Le premier vaut -30. Donc forcément le deuxième vaut +30 puisque la somme doit être nul.

citation :
un peu absconque

C'est quoi ça ? C'est abscons et quelconque en même temps ?

OK. merci minkus. Il y a donc quand même de la "structure" là-dessous.

Et oui cette certaine cohérence des mathématiques

Sinon vous pouvez aller lire ce qu'en pensait le grand Stendhal

Je vous ai mis la premiere page mais ça continue après...

Merci minkus, je ne connaissais pas...

Pas mal...

Sinon, exact

La dernière fois que j'ai expliqué cette leçon à ma blonde petite cousine, j'avais procédé ainsi:
Supposons que les amis, c'est positif et les ennemis négatif.
Les amis de mes amis sont mes amis: +*+=+
Les ennemis de mes amis sont mes ennemis: -*+=-
Les amis de mes ennemis sont mes ennemis: +*-=-
Les ennemis de mes ennemis sont...mes amis: -*-=+.

Bonjour

On peut aussi le démontrer par construction de Z : une relation d'équivalence ainsi qu'un produit défini compatible avec celle-ci.

Bonjour

Excuse moi Lucas, mais je préfère la méthode de Camilia. Pour moi c'est plus parlant. Pour mes filles pour que ce soit plus parlant je parlais de bonbons.

La Berlue : Ce n'est pas une explication ça, c'est une comparaison

citation :
Excuse moi Lucas, mais je préfère la méthode de Camilia. Pour moi c'est plus parlant. Pour mes filles pour que ce soit plus parlant je parlais de bonbons.

Y a quelque chose que je en comprends pas dans ta phrase, c'est le "excuse moi"... tu n'as pas à t'excuser pour contredire quelque chose à quelqu'un, surtout qu'on pense différement... C'est d'ailleurs en ayant l'opinion de tout le monde qu'on peut avoir en philosophie ou en français, la meilleure thèse, la meilleure antithèse, donc la meilleure synthèse, non ?

_{Euh... sinon elles ont quel âge, tes filles ?}

n'importe quoi ... (je parle pas des filles, mais de la remarque)