Forum EXPRESSO de l'île des mathématiques :
[Mathématiciens] Leonhard Euler

Bonjour !

J'ai une petite idée pour ce forum expresso qui est tombé entre des débats trop chauds ! Pour équilibrer un peu, je vais prendre une petite initiative que je ne sais pas si vous allez aimer (je demande alors votre avis ): je vais commencer à poster (une fois que j'ai un peu de temps devant moi ) des petits topics sur nos mathématiciens ... ces topics présenteront un personnage et présenteront un petit bouquet de ses travaux d'une manière plus ou moins vulgarisée ... Et puis y aura après des discussions ou bien même des approfondissement pour les BAC + et pour les lycéens curieux autour de ce sujet !

Si vous n'êtes pas d'accord vous le dites dès ce topic !

Bon, le personnage de cette soirée est une grande célébrité qui est considérée comme une des plus grandes et qui a contribué aux développement des maths et des physiques aussi !



Né le 15 avril 1707et mort le 18 septembre 1783
Euler Leonhard est un mathématicien suisse. Il a d'abord intégrer une faculté de philosophie,mais il a consacré tout de suite sa vie aux sciences comme élève de Bernouilli.A 16 ans, Euler a déjà obtenu sa maîtrise! Sa vie se partageait entre Bale, sa ville de naissance et Saint-Petersbourg en Russie où il finit sa vie après avoir souffert d'une congestion cérébrale en 1735 puis d'une cécité en 1771.
Ses domaines d'études étaient très variés: Mathématiques, mécanique, optique, acoustique, astronomie ...
Ses travaux

Euler a démontré la conjecture de Fermat pour le cas n=3 (l'équation n'a pas de solution d'entiers strictement positifs)

C'est Euler qui a introduit le premier la notation f(x) qui représente l'image de l'élément x par la fonction f.

Toujours avec les nouvelles notations, Euler a introduit le symbole . Ainsi au lieu d'écrire 1+2+...+n on écrit tout simplement , plus facile, non?

Ah oui ! C'est lui le premier qui a introduit le symbole pour le nombre pi, le nombre irrationnel le plus célèbre 3,1415926535897932384..., et même la constante e où la fonction logarithme népérien vaut 1 (ln(e)=1) ou aussi la base des logarithme népériens ! On le doit aussi la notation pou le nombre imaginaire le plus célèbre dont le carré est -1 (i²=-1)


Vous l'avez connu ! C'est où se regroupes toutes les constantes célèbres ! puis aussi la formule dont elle dérive :

Euler établit que le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit sont alignés sur une droite appelée à son hommage droite d'Euler du triangle. En fait, Simson a déjà découvert cette particularité, mais comme il existe déjà une droite qui porte le nom de droite de Simson ...

Toujours avec les notations précédentes, on appelle le milieu du segment [HO] centre du cercle d'euler .

Euler a trouvé une solution à un problème très célèbre et très ancien déterminer la limite lorsque n tend vers de la suite soit qui est bien sûr ou bien aussi .

Au fait la la fonction est appelée la fonction zéta de Riemann et donc Euler a calculé

Très célèbre! qui ne sait pas démontrer que et que la série harmonique . Euler vient ici pour établir une relation: une limite de leurs différence qui n'est point infinie !

est appelée constante d'Euler-Mascheroni .

c'est une relation en géométrie très intéressante! Euler a pu établir que si on dispose d'un polyèdre de genre 0 qui a f faces et a arêtes et s sommets alors

L'arithmétique aussi! La fonction indicatrice d'Euler notée est une fonction de qui à n associe le nombre d'entiers positifs inférieurs à n et premiers avec lui. C'est une fonction multiplicative c'est-à-dire (essayer de le démontrer terminale S spé )

Bon pour terminer, il me restait juste une que je voulais citer :

Problème traité plusieurs fois sur l'île même ! Bon, C'est Euler qui, le premier l'a démontré !

Bon, je termine ce topic ... Je vous laisse parler de ce que vous voulez concernant Euler ! Des démos, d'autres découvertes à lui que vous connaissez ...

Bonsoir,
bonne initiative monrow !

je rajoute:
on disait dans le temps "formule d'Euler" pour : et

Bonsoir Moh ! Très bonne idée


  En effet, Euler est l'un des plus grands mathématiciens ! Je n'ai pas le niveau pour tout comprendre...
  Mon prof disait souvent qu'Euler est de ceux qui prennaient les travaux des autres, puis avançait dans les cas particuliers les plus durs et s'angageait dans les choses les plus abstraites ! (à vérifier bien sûr )


_{Bref, c'est surtout pour préparer le nouveau topic ! ça va être sur Gauss hein Monrow ?}


w@lid.

Salut Marie


  Et à croire mon bouquin, c'est l'un des premiers à tracer les courbes des fonctions d'une manière précise : l'approximation affine  ..


w@lid.

citation :
Bref, c'est surtout pour préparer le nouveau topic ! ça va être sur Gauss hein Monrow ?

On verra bien

Sinon, oui y a qui s'utilise pour résoudre des équadiffs... Et bien sûr que ça a un rapport avec l'approximation affine ...

sinon les formules d'euler bien sûr comme nous a rappelé Sloreviv !

bonsoir

exellent topic et exellente initiative.

je me suis particulièrement intéressé à cette fonction indicatrice ,il y a plein de propriété dessus et on peut en outre démontrer que : a et n entiers naturels premiers entre eux, alors ...

enfin tout ca pour dire que j'aime tout les mathématiciens qui ont traité de l'arithmétique.

quand je serais en vacance (d'ici une semaine mais avant bac blanc) je traiterais le cas du fameux Fermat...

merci monrow

@+

xunil>> j'avais ce truc là en tête grrr mais j'ai oublié de le citer ^^

le (qui est une généralisation du petit théorème de Fermat) :

_{Que des trucs où s'entraîner ...}

Bonjour Walid! et l'arithmétique c'est si bien!!!!

que ca reconcilierait toute une île j'espere!!

Bonjour

Le calcul d'une surface sur un quadrillage, par Euler aussi _{(sauf erreur)}

Soit un quadrillage orthogonal, et un polygone dont tous les sommets sont situes sur des noeuds du quadrillage.
Le nombre de noeuds du quadrillage a l'interieur du polygone est appele I
Le nombre de noeuds sur le polygone lui-meme est appele L
Si l'unite de surface vaut 1 rectangle du quadrillage, alors la surface du polygone vaut

Exemple de l'image:
15 points a l'interieur, en rouge
9 points sur le perimetre, en vert
Surface: 15 + 9/2 - 1 soit 18.5 unites

jolie formule, dami

peu connue je pense

salut monrow : un des intérêts de cette famille de posts ( hormis ôter de la tension à l' ) sera d'enrichir les infos que fournit wikipédia sur les mathématiciens ( ou d'autres sites...)

salut tout le monde,

joli topic en particulier le coup du quadrillage !

salut Mariette oui, ça doit être peu connu de tous ( car pas enseigné) cette histoire de quadrillage...

Mika>> bien sûr que c'est le but aussi ... On peut ainsi connaître un plus ou moins maximum de ce qu'a fait chaque mathématicien

Dami>> Belle formule que je connaissais pas

Belle formule en effet

Salut!

Que de magnifiques formules en effet

citation :
Si vous n'êtes pas d'accord vous le dites dès ce topic !

Qui sera assez c** pour dire qu'une idée pareille n'a pas sa place ici? C'est une super idée! On a apprend beaucoup, autant sur le bonhomme que sur les maths...

_{Seul truc qui m'embête c'est que je suis née le même jour que lui mais que je suis loin d'être aussi douée en maths...}

moi je suis né 5 jours après lui mais sans aucun profit ! de même aucune relation avec lui

Il est très à la mode parce que c'était son tricentenaire l'an passé.
Il continue à y avoir des conférences à sont sujet encore aujourd'hui.
Je pense que l'on peut surement trouver la conférence de Francis Clark sur le sujet dans les videos de l'ENS si ça en intéresse...

Bonsoir

Quelqu'un a une démo pour la formule donnée ?

De quelle formule parles-tu ?

Celle de la surface d'un polygône dans le quadrillage.

Démonstration du (d'après des notes de cours de géométrie discrète à Michel Habib)

Formule du Pick: Soit P un polygone. On a où:

S(P) est la surface de P
I(P) le nombre des points du quadrillage à l'intérieur du polygone
B(P) le nombre de points du quadrillage où passe le polygone

Voilà ce qu'il a fait:

Lemme 1:



Preuve: Evident ...

Lemme 2

On considère deux polygones P et P' n'ayant qu'un côté MN en commun. Alors si Q=P+P' et si P' vérifie la formule du Pick alors :

Preuve: Il suffit de montrer que

Remarquons que :

S(Q)=S(P)+S(P')
I(Q)=I(Q')=x où x est les nombre de points du quadrillage appartenant à ]MN[
B(Q)=B(P)+B(P')-2x-2

Donc:

Or P' vérifie la formule du Pick, donc: . CQFD

PREUVE DU THEOREME DU PICK

Un triangle quelconque peut se transformer en un rectangle par ajout de triangles rectangles (il suffit de considère le rectangle du quadrillage englobant ce triangle).

Et donc en utilisant les deux lemmes, les triangles vérifie le théorème du Pick.

Considérons maintenant un polygone quelconque P. On commence par calculer une triangulation de P. Le lemme précédent nous permet d'en déduire la validité du théorème sur P.

Salut!


Je trouve l'idée excellente!

Moi j'accroche sur le probléme des 7 ponts..je trouve ça passionant dans sa résolution et dans le probléme en lui même..je sais pas il y a un truc dans le probléme qui m'intrigue et me passionne!

Fonction Gamma

Cette fonction est la généralisation de la factorielle jusqu'aux nombres réelles voire même complexes!



un peu plus vulgarisé:

Travaillez dans pour les curieux lycéens ^^

Vous pouvez ainsi vérifier la formule célèbre (une IPP? )

Ainsi pour

Fonction Bêta

avec x et des complexes tels que leurs parties réelles soient strictement positives.

Toujours vous pouvez vous rendre à une étude réelle

La relation qui existe entre ces deux fonctions est:  

Il existe bcp d'autres fonctions spéciales qui viennent de la fonction gamma mais ce n'est pas la peine de détailler ici (Foction digamma qui est la dérivée logarithmique de gamma, la dérivée polygamma où on dérive "logarthmiquement" plusieurs fois, ... mais c'est d'un niveau un peu plus délicat )

_{PS: Vous pouvez poser les questions que vous voulez, les démos que vous souhaitez savoir, des éclaircissements ...}

Salut mohamed!


Que veut dire dérivée logarithmique?  est le logarithme de la dérivée?

Salut Kuider !

Bon, on prend une fonction f ... Sa dérivée logarithmique est la fonction .

Bon laissons le cas de la fonction digamma, la dérivée simplifie des fois bcp le calcul de dérivée (surtout en physiques je pense )

Prenons un exemple et soyons plus concrets :

, c'est vraiment trop calculatoire sa dérivée !

On a:

On dérive :

Ainsi :

Imagine le temps que tu as gagné !

Ok merci !

Euh la valeur absolue n'est pas nécessaire sous la racine non?

Ah...Mea Culpa! question stupide, tu as tout à fait raison de mettre des valeurs absolues car aprés tu te sers de ln

en effet, la fonction f ne doit pas s'annuler, et puis pour appliquer le ln on doit s'assurer que f est strictement positive

Autre remarque : si où

Ok merci!

Je l'écris avec des sommes et produits  pour voir si je sais manipuler ça et aprés


si avec alors



Une question bête désolé mais les a représentent la dérivée a-iéme   ?

Non une puissance

Bonjour
ça serait pas plutôt Gamma(n) = (n-1)! ? (parce que la récurrence, c'est (n)! = n(n-1)!)

lafol , oui bien sûr !

C'est :

Ok merci Kéké (et salut )

Incroyable j'ai eu un exo sur la constante d'Euler-Mascheroni  dans un exo (bourrin ) ce matin en DS

ah bon !

lol

Bon je pense qu'on va passer à un deuxième mathématicien ! lequel vous préférez?

Oui Mohamed , mais je pense que c'était vraiment une approche

Moi j'aime bien Fermat et Gauss (non non ,l'arithmétique n'y est pour rien dedans )

Gauss


w@lid.

De rien Kuid

citation :
Bon je pense qu'on va passer à un deuxième mathématicien ! lequel vous préférez?

ehlor

Reimann peut-être

à moins que Riemann ?

Oupssss

je sias jamais l'écrire, et même je sais pas comment le prononcer souvens je dis Rayman (comme le jeux video ) ou rainman (comme le film )

ça se prononce comme ça s'écrit (ie, comme dans le français pie _{(je suis curieuse comme une vieille pie} )