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exercice espace vectoriel...
Bonjour,
Voilà l'énoncé de mon exercice :
Soit E le R-espace vectoriel R^4.
Soit F le sous-espace vectoriel défini par :
F= {(a,b,c,d) | 2a-b+2c+d=0}
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1/Montrer que F est différent de E. (sans calculer dim(F) puisque c'est demandé plus tard)
2/On considère les vecteurs de E suivants:
u1=(1,-1,2,7)
u2=(1,0,1,-4)
u3=(0,-2,3,-8)
On pose G=Vect(u1,u2,u3)
La famille (u1,u2,u3) est-elle une base de G?
(je ne sais pas comment rédiger rigoureusement ma réponse pour montrer que oui c'est une base de G)
3/Montrer que dim(F)=3
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Si quelqu'un peut m'aider ça serait vraiment génial, j'avoue que je bloque beaucoup là-dessus!
Merci!
Bonjour,
1/ Il suffit de trouver un quadruplet qui ne vérifie pas cette équation donc n'appartenant pas à F
2/ G est un sous espace engendré donc une famille génératrice
de plus u1, u2, u3 est clairement une famille libre au vue des premières coordonnées
Donc la famille est une base de G
3/ Mets F sous la forme d'un Vect
Skops 
Pour la première question il suffit de trouver un vecteur de E qui n'est pas dans F. (0,0,0,1) par exemple.
Pour la deuxième question et pour prouver que la famille est libre tu peux calculer le déterminant de la matrice (u1,u2,u3) et montrer qu'il est non nul.
enfin pour la dernière question: F={(a,b,c,-2a +b -2c), a,b,c appartenant à R} donc F=Vect((1,0,0,-2),(0,1,0,1),(0,0,1,-2)).
Voilà.
Ah merci!
F=Vect(x,y,z) tel que x=(1,2,0,0)
y=(0,2,1,0)
z=(0,1,0,1)
C'est bon?
Merci à vous deux et par contre déteminant d'une matrice j'ai pas encore vu ça donc je vais faire comme a dit Skops!
Pour ton F=Vect() c'est bon (tu as tout exprimé en fonction de a,c,d je suppose). Enfin la dimension d'un espace vectoriel est le nombre d'éléments de sa base ce qui répond à ta deuxième question.
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