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matrices inversibles par blocs
BONJOUR
C'est encore yn vrai faux, je remercie d'avances quiconque pourra m'aider
On a A, B et C des matrices de Mn(K)
A et B sont inversibles si et seulement si la matrice definie par :
en colonne A 0 puis (2eme colonne) C B est in versible
Bonjour, si K est un corps ou un anneau intègre, c'est juste puisque det(grosse matrice)=det(A).det(B) qui est non nul ssi det(A) et det(B) sont non nuls.
Bonjour 
Si tu notes M la matrice par bloc, un sens est assez simple.
Si A et B sont inversibles, alors det(A) 0 et det(A)
0
Mais alors :
det(M) = det(A).det(B) 0
Donc M est inversible.
Reste à voir l'autre sens ...
mais c'est un theoreme que det(grosse matrice) = det a * det B?
c'est peut etre bete comme question mais c'est la premiere fois que je vois des matrices par blocs
Oui c'est un théorème, mais il ne s'applique que si les blocs sont carrés et si le bloc inférieur gauche ou supérieur droit est la matrice nulle.
On peut aussi s'en tirer sans déterminant. Si tu écris qu'il existe des matrices M, N, P, Q telles que
tu vois facilement que M doit être l'inverse de A et Q l'inverse de C.
Re
Une démonstration possible c'est d'écrire :
M =
A C
O B
Comme produit de 2 matrices. En faisant des essais, on trouve M = N.P avec
N =
I O
O B
P =
A C
O I
Donc on a : det(M) = det(N).det(P)
Pour trouver det(N), tu développes par rapport à la première colonne, puis par rapport à la 2nd ... et tu trouves det(B)
Pour det(P), tu développes par rapport à la dernière ligne, et tu remontes comme ça et tu trouves det(A) et tu obtiens le résultat !
ok ?
( sauf erreurs )
Ok!
Donc en effet tu ne dois pas avoir appris ce genre de théorèmes.
C'est plus compliqué dans ce cas, essaie de passer par les endomorphismes u et v associés à A et B dans des bases adaptées de deux sev E et F de dimension n et supplémentaires d'un ev H de dimension 2n, et considère l'endomorphisme de H de matrice la grosse matrice.
Il s'agit de prouver que:
w isomorphisme <=> u et v isomorphismes.
Camélia et lyonnais->Je ne crois pas que le produit de matrices par blocs soit au programme de Sup...
Exact Tigweg
J'ai essayé de lui donner une démo qui se comprenait !
Mais c'est vrai que le produit par bloc n'est pas au programme de sup ...
merci je suis en train d'essayer de comprendre; mais pour ce qui est du hors programme, il ne faut pas vous inquiéter; mon professeur a une rubrique qu'il appelle P barre: la cloture algebrique du programme
ça depend des jours , et il a meme cree une revue ; la M DLDMDEL: mouvement de lutte pour le droit des matrices a disposer d'elle meme: en fait il n'aime pas passer tout le temps par les applications associes pour demontrer des resultats sur les matrice
Lol ça commence comme ça et bientôt elles revendiqueront le droit à l'IVD (interruption volontaire de diagonalisation) !!
Second degré + antiphrase bien sûr!
excellent!!!!
par contre est-ce que vous auriez une minute de plus a me consacrer? il me reste une derniere question dans mon vrai-faux c'est soit F un sous espace de E et u une apllication lineaire de F dans E ,alors il existe un endomorphisme v de E dont la restriction à F est egale à u
merci ; si vous ne pouvez pas ça n'est pas grave ; c'est deja assez gzntil de m'avoir aide sur les matrices par blocs
Pas de problème, il suffit d'utiliser le théorème de la base incomplète pour compléter une base de F en une base de E.
Sur les nouveaux vecteurs, tu poses v(vecteur)=le nombre d'or ou ce que tu veux!
Sur les anciens, tu poses v(vecteur)=u(vecteur)
de sorte que v est un endo. de E prolongeant u, ce qui signifie que l'assertion est vraie!
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