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Niveau Maths sup
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Equation avec matrices

Posté par
infophile 30-03-08 à 17:09

Bonjour

Citation :
Résoudre l'équation 3$ \rm X^2-2X=\begin{pmatrix}-1&0\\6&3\end{pmatrix} d'inconnue 3$ \rm X\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})


Ma méthode est un peu bourrin j'aurais voulu savoir s'il y avait quelque chose de plus fin ?

Je pose 3$ \rm X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} ainsi 3$ \rm X^2-X=\begin{pmatrix}a^2-2a+bc&b(a+d-2)\\c(a+d-2)&d^2-2d+bc\end{pmatrix}

On doit donc résoudre le système : 3$ \rm \{a^2-2a+bc=-1\\b(a+d-2)=0\\c(a+d-2)=6\\d^2-2d+bc=3

Dans (2) on a nécessairement 3$ \rm b=0 sinon le produit dans (3) serait nul.

Le système se réécrit donc : 3$ \rm \{a^2-2a+1=0\\c(a+d-2)=6\\d^2-2d-3=0

De (1) on tire 3$ \rm a=1 et de (3) on a deux solutions 3$ \rm \{d=-1\\d=3.

Et donc enfin deux solutions pour la dernière inconnue : 3$ \rm \{c=-3\\c=3

Deux matrices sont donc solutions de l'équation : 3$ \rm \fbox{\begin{pmatrix}1&0\\-3&-1\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}1&0\\3&3\end{pmatrix}}

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:20

Salut Kévin

Je ne pense vraiment pas qu'il y a des méthode moins bourrines sauf des remarques personnelles des fois !

Tous les livres où j'ai travaillé ça font comme toi et se lancent dans les calculs !

de toute façon on ne donne pas des matrices d'ordre plus grand que 2...

Pour un ordre n, y a des fois tout un sujet d'étude pour trouver les solutions !

Peut-être qu'il y aura quelque chose après mais je pense pas que c'est du niveau sup/spé

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:24

Salut momo

C'est pas drôle si c'est juste des calculs, j'pensais qu'il y aurait une méga astuce

J'ai un autre petit exo mais celui-ci je ne vois pas trop comment commencer tu pourras peut-être me donner un indice :

Citation :
Soit 3$ \rm A\in \mathcal{M}_{n}(K) telle que 3$ \rm \forall X\in \mathcal{M}_{n}(K), (X.A)^2=0.

Montrer que 3$ \rm A=0.


Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:35

On a XAXA=0 donc Im(A) est dans Ker(XAX) qui se vérifie pour tout X et en particulier pour la matrice unité Donc Im(A) est dans Ker(A) ...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:38

...ce qui prouve juste A²=0 mais pas A=0 MAry!!!

Salut Kevin!

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:43

Salut Greg

On n'a pas encore vu noyau et image d'une matrice, ça donne quoi ?

Merci à vous

Posté par
soucoure : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:48

Pour ton premier exo je pense qu'on pouvait prévoir que ta matrice était triangulaire inférieure donc enlever le b dès le début.

Posté par
soucoure : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:51

...noyau et image d'une matrice tout simplement parce que ça n'existe pas (enfin je le pense pas), c'est un abus de langage, il faut parler du rang et de l'image de l'application linéaire associée.

Posté par
soucoure : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:52

Arf ! Je voulais dire noyau et pas rang.

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:52

Ah oui bien vu soucou

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:53

soucou->Non pas du tout, c'est parfaitement défini: Ker A est l'ensemble des vecteurs colonne X tels que A.X=0, Im A c'est l'ensemble des A.X lorsque X décrit tous les vecteurs colonne possibles.

Après si tu veux, tu peux interpréter ces veccteurs colonne comme des vecteurs de l'eespace vectoriel initial muni de la base de ton choix.

Posté par
soucoure : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:57

Hum, je reste quand même sceptique en vue de la remarque qu'on ma faite en début d'année de spé lors d'un DS. Bon si maintenant on me dis que ça existe, pourquoi pas, mais resterai sur mon premier avis.

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:58

Une question un peu naïve : est-ce que toute matrice carrée non nulle est inversible ? (on n'en est pas encore là dans le cours).

Posté par
soucoure : Equation avec matrices 30-03-08 à 17:58

Oui si et seulement si son déterminant est non nul.

Posté par
perroquetre : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:00

Bonjour à tous.

Je confirme d'abord ce qu'écrivait soucou, on pouvait prévoir a priori que les solutions de l'équation étaient triangulaires supérieures, en utilisant du cours de Spé: si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre ...

Ensuite, pour le deuxième exercice, infophile, je te conseille de prendre pour X la matrice élémentaire E_{i,j} dont tous les éléments sont nuls sauf celui d'indice i,j, qui vaut 1

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:01

Ok donc si 3$ \rm A^{-1} existe on a en particulier 3$ \rm (A^{-1}.A)^2=I_n\neq 0 donc A n'est pas inversible.

Ca ne fait pas avancer mais bon

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:03

Bonsoir perroquet

Je vais essayer avec 3$ \rm E_{i,j} merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:09

soucou>Les Mathématiques ne sont pas une question d'avis, désolé de te contredire!

Un vecteur colonne n'est rien d'autre qu'une matrice de format (n;1).

Donc KEr A est un ensemble de matrices de format (n;1), ça a bien un sens!


Salut perroquet!

Posté par
perroquetre : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:10

Pour soucou

Dans le programme de Spé MP, on définit les valeurs propres et les sous-espaces propres d'une matrice carrée M comme étant les valeurs propres et les sous-espaces propres de l'application linéaire canoniquement associée à M, qui, à un vecteur X de K^n associe MX. On peut donc définir de même le noyau et l'image d'une matrice carrée.

Ceci dit, il y a des cas où il est dangereux de confondre une matrice M et son application linéaire canoniquement associée. Dans ton DS de début d'année, c'était peut-être le cas.

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:41

Si on note 3$ \rm X=E_{i,j}=(e_{i,j}) et 3$ \rm A=(a_{i,j}) ainsi que 3$ \rm X.A=(c_{i,j}) alors 3$ \rm c_{i,j}=\Bigsum_{k=1}^{n}e_{i,k}a_{k,j}

Puisque 3$ \rm k\neq j\Right e_{i,k}=0 alors 3$ \rm c_{i,j}=a_{j,j}.

Il faut que je continue dans cette direction ?

Posté par
perroquetre : Equation avec matrices 30-03-08 à 18:48

Oui, il n'y a plus qu'une seule ligne non nulle dans ta matrice XA (la i-ième ligne, qui est en fait la j-ème ligne de la matrice A, le coefficient diagonal de cette i-ième ligne étant c_{i,i}=a_{j,i}). Il est facile d'en calculer le carré et de voir que
a_{j,i}=0
(si je n'ai pas fait d'erreur d'indice)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 30-03-08 à 20:08

tigrette () >> c'était juste une idée que je n'ai pas terminé mais à vrai dire on ne peut pas continuer

Désolé Kév, on m'a appelé et je devais partir et je te jure que j'avais cette idée de matrices élémentaires à te donner () mais bon perroquet l'a déjà évoqué

Posté par
Nightmarere : Equation avec matrices 30-03-08 à 20:27

Pour trouver une solution on peut aussi passer par la diagonalisation, c'est plus rapide lorsqu'on est dans les grandes dimensions, mais ça ne fournit pas toutes les solutions.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation avec matrices 30-03-08 à 21:01

Marylin et Tigrette

On pourra bientôt jouer dans un remake de 8 femmes si ça continue, monrow!
Infofillette, tu nous rejoins?

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 21:07

Infophilette existe déjà sur l' c'est ma pitite soeur

PS : Pas encore vu la diagonalisation.

Merci à tous

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation avec matrices 30-03-08 à 21:19

OK!En fait je l'avais enregistré inconsciemment, c'est ressorti comme ça Kévin!

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 30-03-08 à 21:33

Je suis sur un nouveau problème :

Citation :
Soit 3$ \rm n un entier naturel et 3$ \rm A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}. Calculer 3$ \rm A^n.


Bon déjà je sais pas si c'est une piste exploitable mais on remarque que 3$ \rm A^2=2I_3+A.

Par récurrence on montre que 3$ \rm A^n=a_n.I_3+b_n.A, c'est vrai aux premiers rangs, pour l'hérédité :

3$ \rm A^{n+1}=A.A^n=A.(a_n.I_3+b_n.A)=a_n.A+b_n.A^2=a_n.A+b_n(2I_3+A)=2b_n.I_3+(a_n+b_n)A

On pose donc 3$ \rm a_{n+1}=2b_n et 3$ \rm b_{n+1}=a_n+b_n.

Il vient 3$ \rm a_{n+1}-b_{n+1}=b_n-a_n d'où par itération 3$ \rm a_n-b_n=(-1)^{n+1}(a_1-b_1)=(-1)^{n+1}

Ensuite je ne vois pas d'autres moyens que de distinguer les cas :

3$ \rm \bullet Si n est impair alors la suite 3$ \rm (a_n-b_n) est constante égale à 1.

D'où 3$ \rm b_{n+1}+1=a_n+b_n+1=b_n+1+b_n+1=2(b_n+1) on a une suite géométrique, donc 3$ \rm b_n=2^n-1 et 3$ \rm a_n=2^n

Soit finalement 3$ \rm \fbox{A^n=2^n.I_3+(2^n-1).A}

3$ \rm \bullet Si n est pair on a de même 3$ \rm a_n-b_n=-1.

D'où 3$ \rm b_{n+1}-1=a_n+b_n-1=2(b_n-1) donc 3$ \rm b_n=1-2^{n} et 3$ \rm a_n=-2^n

Enfin 3$ \rm \fbox{A^n=-2^n.I_3+(1-2^{n}).A}

Ca n'a pas l'air de marcher du tonnerre il doit y avoir des erreurs...

Posté par
1 Schumi 1re : Equation avec matrices 31-03-08 à 15:04

Salut,

Notant f l'endomorphisme associé à A, on f²-f-2Id=0. Donc le polynôme P(X)=X²-X-2Id annule f.
Détermine le reste de X^n dans la division euclidienne par P. (puisqu'il est de la forme aX+b, c'est pas trop compliqué: fais succesivement x=les racines de R, un système de 2 équations à deux inconnues ...). Ceci étant, notant R ce reste, tu as que : f^n=R(f).
Donc A^n=R(A).

A toi!

Posté par
raymond CorrecteurEquation avec matrices 31-03-08 à 17:25

Bonjour.

Pour la toute première équation de ce topic, on a aussi X² - 2X + I = (X - I)² = 2$\begin{pmatrix}0&0\\6&4\end{pmatrix}

En posant Y = X - I, on trouve un système simple issu de Y² = 2$\begin{pmatrix}0&0\\6&4\end{pmatrix}

Posté par
veledare : Equation avec matrices 31-03-08 à 17:56

bonjour,
autre methode pour calculer An
en notant B la matrice 3x3 dont tous les éléments sont des 1 on a A-2I=-B soit A=2I-B (1)
pour tout entier k>0 Bk=3k-1B
on peut calculer An par la formule du binome on obtient Ancombinaison linéaire de I et B donc en fonction de I et A
c'est du calcul

Posté par
veledare : Equation avec matrices 31-03-08 à 18:18

je trouve
An=[(2n-(-1)n)A+(2n+2(-1)n)I]/3
la methode proposée par 1schumi1 est nettement la plus courte

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:05

Bonsoir

raymond > Bien vu ça raccourci un peu les calculs !

veleda > Merci avec le binôme j'avais traité un autre cas, mais je vais opté pour la méthode d'Ayoub si elle est plus courte

Ayoub > J'ai pas compris l'histoire du système avec les racines

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:15

Re kévin !

C'est vrai que c'est une méthode simple qu'on utilise souvent celle que t'as donné ayoub, je détaille:

On a: \Large X^n=(X^2-X-2)Q(X)+R(X)

Or deg(R)<deg(X^2-X-2)=2 donc R(X)=aX+b

Ainsi: \Large X^n=(X+1)(X-2)Q(X)+aX+b

En évalue en -1: On a alors (-1)^n=-a+b
de même en 2: 2^n=2a+b

Ainsi: \Large a=\frac{(-1)^{n+1}+2^n}{3} et \Large b=\frac{2(-1)^n+2^n}{3}

Donc: \Large X^n=(X^2-X-2)Q(X)+\frac{(-1)^{n+1}+2^n}{3}X+\frac{2(-1)^n+2^n}{3}

Pour des matrices : \Large X^n=(X^2-X-2I_3)Q(X)+\frac{(-1)^{n+1}+2^n}{3}X+\frac{2(-1)^n+2^n}{3}I_3

En évaluant en A et sachant que A^2-A-2I_n=0 : \Large A^n=\frac{(-1)^{n+1}+2^n}{3}A+\frac{2(-1)^n+2^n}{3}I_3

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:18

Salut momo

Ah oué c'est vraiment bien vu ! Je n'aurais pas pensé à cette méthode, c'est classique ?

Merci à tous

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:22

Oui ça deviendra classique en travaillant un peu plus d'exos

En fait  y a 3 méthodes classiques pour calculer les puissances d'une matrices :

soit par récurrence s'ily a une conjecture simple
soit avec cette méthode si on trouve un polynôme annulateur
soit avec le binôme de Newton pour une somme de deux matrices qui commutent et où l'une est nilpotente

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:24

Je connaissais le binôme, et la récurrence je l'ai utilisé dans ma démo, ça devrait marcher modulo les erreurs de calculs car je retrouve un peu la même forme de solution que toi

Merci bien !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:25

Pas de problème ! N'hésite pas si t'as d'autres questions

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:27

Oui il devrait y avoir je ne suis pas encore tout à fait à l'aise avec tout le côté "théorique" des matrices.

Bonne soirée

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 31-03-08 à 21:28

Bonne soirée à toi aussi

Posté par
lyonnaisre : Equation avec matrices 31-03-08 à 22:15

Bonsoir

Citation :
En fait  y a 3 méthodes classiques pour calculer les puissances d'une matrices :

soit par récurrence s'ily a une conjecture simple
soit avec cette méthode si on trouve un polynôme annulateur
soit avec le binôme de Newton pour une somme de deux matrices qui commutent et où l'une est nilpotente



Soit en utilisant les polynômes d'interpolations de Lagrange ou les projecteurs spectraux :D

Bonne soirée à vous deux !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Equation avec matrices 31-03-08 à 22:22

Salut lyonnais !

en effet, c'est une autre méthode ! mais il faut déjà savoir savoir la décomposition de Dunford et tout ce qui suit ...

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:07

Ca m'intéresse, un lien ?

Salut romain

Posté par
Nightmarere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:16

N'oublions on pas la diagonalisation pour le calcul des puissances !

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:20

Toutes vos méthodes m'intéressent, si vous pouviez développer...

Posté par
Nightmarere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:28

Kevin >

Concernant la diagonalisation :

Sous certaines conditions, on peut écrire une matrice M sous la forme 3$\rm M=PDP^{-1} où P est une matrice de passage et D une matrice diagonale.
On voit alors que le calcul des puissances de M est facile :
3$\rm M^{k}=PD^{k}P^{-1} et le calcul des puissances d'une matrice diagonale est trivial.

Un polynôme annulateur est un polynôme P tel que P(M)=0.

Pour la décomposition de Dunford :

Une matrice (encore une fois sous certaines conditions) peut s'écrire sous la forme M=D+N avec D une matrice diagonale et N une matrice nilpotente. Là encore avec Newton le calcul des puissances peut être rapide.

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:36

Tiens c'est marrant on a vu les matrices semblables en cours ce matin ça y ressemble fortement

On a vu en particulier que si A et B sont semblables alors A^k et B^k le sont également.

Quelles sont les conditions que tu cites ?

Posté par
Nightmarere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:40

As-tu déjà entendu parler du polynôme caractéristique?

C'est le polynôme [tex]3$\rm P(\lambda)=Det(M-\lambda Id)[/te] (je te laisse le soin de montrer que c'est bien un polynôme).

Ses racines sont appelées valeurs propres.

Une CNS pour qu'une matrice soit diagonalisable (donc semblable à une matrice diagonale) est que son polynôme caractéristique soit scindé sur le corps de base et que pour chaque valeur propre x, la dimension de Ker(f-x.Id) (appelé sous-espace propre) est égale à la multiplicité de x.

Pour la décomposition de Dunford, il suffit que le polynôme caractéristique soit scindé sur le corps de base (ainsi toute matrice sur le corps des complexes admet une décomposition de Dunford)

Posté par
jeansebre : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:42

Bonsoir Kevin (Je dialogue déjà avec Jord)

Citation :
N'oublions on pas la diagonalisation pour le calcul des puissances !


A un oral d'agreg, j'ai procédé par diagonalisation, et le jury m'a tout de suite fait remarquer la supériorité de la méthode avec polynôme annulateur.

Sinon, Kevin, tu as lancé un topic très intéressant récemment sur les corps de décomposition . Je ne l'ai pas mis en favoris, et je ne le retrouve pas. Une petite balise pour que je le retrouve?

Posté par
Nightmarere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:46

bien sûr que le polynôme annulateur est plus efficace (et encore, si la matrice se diagonalise rapidement, c'est quand même efficace comme méthode) mais bon, ils demandaient plusieurs méthodes

Posté par
infophilere : Equation avec matrices 01-04-08 à 21:55

Ok merci Jord

Bonsoir jeanseb !

Voilà le lien [TIPE] Clôture algébrique, c'est dommage j'ai pas trop le temps de bosser mon TIPE

Bonne soirée

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