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espaces vectoriels

Posté par
samia10 30-03-08 à 20:08

Bonjour , j'ai trouvé un exercice qui me semble interressant mais j'arrive pas à démarer:
Soit E= [X] et soit f: EE,
PP+P'+P''.
Il s'agit de montrer que f GL(E).
merci de me donner quelques pistes ...


*** message déplacé ***

Posté par
samia10re : famille libre 30-03-08 à 20:09

oups désolé... je me suis gouré

*** message déplacé ***

Posté par
samia10espaces vectoriels 30-03-08 à 20:13

Bonsoir
voila cet exo me semble interressant mais je n'arrive pas à le faire...
Soit E=[X] et soit f:EE,
PP+P'+P''.
Il s'agit de montrer que fGL(E)
merci de me mettre sur des pistes ....


*** message déplacé ***

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : espaces vectoriels 30-03-08 à 20:14

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
Nightmarere : espaces vectoriels 30-03-08 à 20:15

Salut

Bon déjà f est clairement linéaire. Reste à prouver qu'elle est inversible.

Regardons déjà son noyau.

3$\rm f(P)=0\Leftrightarrow P+P'+P''=0
On pose 3$\rm P=\Bigsum a_{k}X^{k}, on identifie, on voit que seul le polynôme nul est solution.
f est donc injective.

Pour la surjectivité on regarde l'image. A toi de jouer.

Posté par
samia10re : espaces vectoriels 30-03-08 à 20:54

Imf= f([X])=[X].
non ?

Posté par
Nightmarere : espaces vectoriels 30-03-08 à 21:49

Il faut le montrer!

Posté par
samia10re : espaces vectoriels 30-03-08 à 21:56

oui...
j'ai essayé je n'y arrive pas ...

Posté par
Nightmarere : espaces vectoriels 30-03-08 à 21:59

On pose Q un polynôme.

On veut monter qu'il existe P tel que P+P'+P''=Q

Soit 3$\rm Q=\Bigsum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}
On pose 3$\rm P=\Bigsum_{k=0}^{n} b_{k}X^{k}

Alors l'équation devient 3$\rm \Bigsum_{k=0}^{n} b_{k}X^{k}+\Bigsum_{k=1}^{n} kb_{k}X^{k-1}+\Bigsum_{k=2}^{n} k(k-1)b_{k}X^{k-2}=\Bigsum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}

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