Bonsoir , j'ai l'exercice suivant :

Appliquer la formule de taylor-young pour retrouver le développement limité en 0 des fonctions suivantes : f(x) = cos(x) , g(x) = tan(x) , h(x) = V(1+x) .

En déduire les limites des fonctions suivantes :

1-cos(u)/tan²(2u) , quand u tend vers 0 .

u - V(u²+2u-3) quand u tend vers l'inifni .

Mes réponses :

La formule de taylor-young est la suivante : f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (1/2)(x-a)² f''(a) +...+ 1/n! (x-a)^n f(n)(a) + (x-a)^n E(x) .

Si on l'applique à cos de x pour x = 0 ça nous donne :

1 + x(-sin 0) + x²/2(-cos 0) + ... + (-1)^n x^2n/2n! + e(x^2n+1)) , soit :
1 - x²/2 + x^4/4! + ... + (-1)^n x^2n/2n! + e(x^2n+1))

pour tan(x) ça nous donnerait :

0 + x/cos²(x) + x²/2 * 0 + x³/6*(-cos0 cos^4(0) - sin(0)sin^4(0))/cos^8(0))+...+ ?  je trouve pas la formule générale ici...

pour V(1+x) je trouve :

1 - x/2 + 3/8 x² - 5/16 x³ + a(a-1)...(a-n+1)/n!

.

Donc pour la limite de 1-cos(u)/tan²(2u) , quand u tend vers 0 j'ai fait :

1( - 1- x²/2 + x^4/16 + e(x^5))/(2x²+2x^6/3 + e(x^4) et je trouve 1/8 mais je sais pas si mes écritures de DL sont bons , notamment par rapport aux e(x) , qu'en pensez vous ?

merci de votre aide .