Forum des énigmes mathématiques :
Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire

Bonjour,

la première image ci-dessous représente un "interrupteur aléatoire". Celui-ci est constitué de deux électrodes entre lesquelles on trouve un réseau de trois carrés sur trois. Au sommet de chaque petit carré on trouve un petit trou.
On dispose de cavaliers qui permettent de relier deux petits trous qui sont situés sur une des deux diagonales d'un petit carré.



La principe est le suivant : on place en tout 9 cavaliers, un par petit carré, en choisissant au hasard une des deux diagonales à chaque fois.
Si les deux électrodes sont reliées, alors cela ferme le circuit, et la lampe s'allume, comme par exemple sur la deuxième figure.

La question est la suivante : quelle est la probabilité pour que la lampe s'allume ?
Vous donnerez le résultat sous forme de fraction irréductible.

Bon courage !

la probabilité que la lampe s'allume est 217/256

Bonjour

Voici ma réponse 217/256

bonjour,
il y a 2⁹dispositions possibles des cavaliers et je n'en trouve que 2⁴réalisant la connexion
d'où:la probabilité pour que la lampe s'allume est égale à2⁴/2⁹soit 1/32
j'espère ne pas avoir fait d'erreur

merci pour cet exercice de dénombrement

Bonjour Jamo;

ça se corse très vite!

Sur les 512 configurations possibles de l'interrupteur, j'en trouve 432 qui laissent passer le courant.

En supposant que ces configurations sont équiprobables, la probabilité pour que la lampe s'éclaire est donc de 432/512.

Sans utiliser de calculatrice, je trouve

la fraction irréductible 27/32.

On a 512 possibilités pour les cavaliers.
En effet, deux positions sont possible pour chacun des 9 cavaliers,
cela ressemble à un nombre de 9 bits. Donc 9^2 = 512.

Et je trouve 432 positions gagnantes.

Donc la propabilité d'éclairer la lampe est de

La probabilité pour que la lampe s'allume est de 432/512, soit 27/32.

Bonjour à tous!
Il y a 15 chances sur 16 pour que la lampe s'allume.

(re)Bonjour !
Je me suis aperçu de mon erreur (sous la douche )
Il y a 241/256 chances que la lampe s'allume.

Bonjour,

J'ai analysé tous les cas (avec un petit coup d'excel), et j'ai trouvé que la lampe s'allumait dans 432 cas sur les 512 possibles.

La probabilité que la lampe s'allume est donc de 27/32.

Après recensement, je pense qu'il y a 5 chances sur 32 que le courant ne passe pas, donc une probabilité de 27/32 que la lampe s'allume

Bonjour,

il y a chances que les deux cotés soient connectés.

Une liste des solutions à l'adresse suivante :

Je n'ai pas pu joindre l'image directement, celle-ci faisant 237 ko, 1640 pixels de large.

Les solutions de connexion sont en noir, les autres en rouge.

Deux cas particuliers sont signalés, ils imposent un retour en arrière dans le circuit suivi pour rejoindre les deux électrodes.

Ah : je n'ai pas tenu compte de la probabilité que la lampe soit claquée ou que la pile soit à plat.

Ma méthode pour déterminer les solutions est très algorithmique, alors que les puristes me pardonnent la méthode utilisée, entièrement informatique.
Je suis curieux de savoir s'il existe des approches plus systémiques, par classement par exemple.

217/256

Bonsoir Jamo

J'ai réolu par programmation, je trouve une probabilité de 217/256.
Le fichier exécutable du programme est ici .

merci bien pour l'énigme .

Salut, voici ma théorie...

tout d'abord il y a 2 façons de poser chaque cavalier et 9 cavaliers en tout
donc 2⁹ possibilités = 512

or je ne vois que 4*8 façons pour poser les cavaliers de façon ce que la lampe ne s'allume pas donc 32

d'où une probabilité de 32/512 = 1/16 ... bizarre mais je ne suis pas sure de moi ^^

bonne journée ...

Sur les 512 configurations possibles, 78 ne ferment pas le circuit.
La probabilité que la lampe s'allume est donc de 217/256.

PS: Désolé pour la mauvaise qualité du dessin joint...

Bonjour,

Parmi les 512 configurations possible, 434 allument la lampe.
La probabilité que la lampe s'allume est donc 434/512 = 217/256.

Merci pour l'énigme,
gloubi

la lampe s'allumera  avec  la probabilité
1-39/256=217/256 avec un peu de chance!!!

Bonjour,

Je trouve une probabilité pour que la lampe s'allume de

Merci et A+, KiKo21.

prob = 27/32  
A+
Torio

bonjour
ma réponse est 87/256.
Il y en effet 174 facons de reliers les 2 électrodes sur les 2^9 facons de placer les cavaliers.
Or 174/2^9 =87/2^8 =87/256.

salut

au pif !

1/2 xd

1/16

1/2

Clôture de l'énigme

Ouille !!! En voilà une énigme qu'elle était difficile !!

Sur les 512 possibilités, il y en avait donc 434 qui permettait de fermer le circuit, d'où une probabilité de 434/512 = 217/256.

Beaucoup ont fait une erreur en oubliant les 2 cas particuliers avec "retour en arrière" que dhalte a bien mis en évidence en image (voir ces 2 cas sur l'image ci-dessous, extraite de celle de dhalte). Ainsi, beaucoup n'ont trouvé que 432/512 = 27/32.
J'avais moi-même fait cette erreur au début. Moi aussi j'étais passé par un petit programme informatique, mais ma méthode de recherche ne m'a pas permis de trouver ces 2 cas particuliers.
Je suppose donc que ceux qui ont trouvé ce 27/32 ont fait la même erreur ...

En tout cas, félicitations à ceux qui ont trouvé !

Certains "champions" habituels viennent de chuter sur cette énigme, ce qui laisse encore sa chance à tout le monde de remporter ce mois d'avril ...

bonjour

énigme traitable uniquement par programmation ou par excel ?

Bonne question, je voudrais bien savoir s'il existe une méthode par dénombrement "à la main" ...

belle énigme! j'ai bien aimé .

Bonjour,

> Jamo,

citation :
Bonne question, je voudrais bien savoir s'il existe une méthode par dénombrement "à la main" ...

Oui, le dessin des 512 possibilités puis le repérage visuel des cas où ça ne marche pas (repérés en grisé)


78 cas où ça ne marche pas donc (512 - 78) = 434 cas où ça marche soit 434/512 = 217/256.
C'est ce que j'appelle la méthode "rouleau compresseur", tout en finesse !!

A+, KiKo21.

Je n'ai plus mes papiers sous la main mais je crains bien d'avoir effectivement oublié les deux cas particuliers.
Compliments à dhalte et kiko21 qui les ont mis en évidence!

salut kiko21

Bien entendu ma question était de savoir si une méthode autre que :
¤ le dénombrement "manuel",
¤ le programme informatique,
¤ un tableaur
était possible

Si, au lieu de 9 cavaliers, l'énigme avait stipulé ne serait-ce que 16 ou 25 cavaliers, je doute fort que le "à la main" soit humainement possible

D'ailleurs, serait-il possible de déterminer - si elle existe - la formule donnant la probabilité d'allumage en fonction de c = n² , le nombre cavaliers

P = f(n)

on a donc, f(3) = 217/256

y a-t-il des amateurs pour P(n) = f(n) ?

Sauf erreur, on aurait également :

P(2) = 1/4

Et P(1)=1

eh oui

on a donc

P(1) = 1

P(2) = 1/4

P(3) = 217/256

A vous

J'ai comme un gros doute pour P(2)...

Bonjour,

Tout-à-fait, Thierry. P(2) = 7/8


gloubi

Bon, la suite semble décroissante ...

Quelqu'un à une idée pour la limite ?

merci ThierryMasula et gloubi

on a bien P(2) = 7/8

et donc :

P(1) = 1

P(2) = 7/8

P(3) = 217/256

si on remarque que 217 = 7*31 et 256 = 8*64

ça "sent" les puissances de 2 ( 7 = 2^3 - 1 ; 31 = 2^5 - 1 ; 8 = 2^3 et 256 = 2^8 )

y'aurait-il pas une relation de récurrence du type,

P(k) = P(k-1)* f(k) ?

Ceux qui ont trouvé la solution à l'aide d'un petit programme devraient pouvoir facilement le modifier pour obtenir P(4), P(5), ...

Bonjour,

J'intuiterais bien un truc style:

  

Ou encore:

P(1) = 1

P(2) = (2³-1)/2³ = 7/8

P(3) = (2³-1)*(2⁵-1)/2⁸ = 217/256

P(4) = (2³-1)*(2⁵-1)*(2⁷-1)/2¹⁵ = 27559/32768     

_{Naan, je rigole.}  

Bonne question, j'essaierai de faire tourner mon "petit" programme ce soir sur les valeurs suivantes et vous tiendrai au courant.

  54722 solutions sur 65536 positions.
  Recherche effectuée en 10 secondes.
  27858752 solutions sur 33554432 positions.
  Recherche effectuée en 2 heures 30.
Bof, ça n'apporte pas grand chose...

salut dhalte

tes deux valeurs, c'est pour n=4 et n=5 ?

aux dénominateurs, on reconnait (après simplification pour n=5) les valeurs 2^16 et 2^24

ton "intuition", pour n=4, n'est d'ailleurs pas trop fausse

0,841033935546875
au lieu de
0,834991455078125

quelques "retours en arrière" à ajouter...

Oui, suite aux posts qui précèdent...

Evidemment, le dénominateur est 2^n ! Tes simplifications m'enchantent.

Ce ne sont pas mes intuitions mais celles de Gloubi, dont tu parles. Je n'ai aucune idée de l'existence de relations simples permettant de calculer les valeurs. Et donc ma recherche tendait à "vérifier" si les intuitions de Gloubi s'en trouvaient renforcées par les cas 4 et 5. Ca ne semble pas être le cas. Et je crois que Gloubi n'était qu'à moitié sérieux dans ses conjonctures

Pour ceux qui le souhaiteraient, je tiens mon algo (implantation vb.NET) à disposition.

Bonjour dhalte et mika,

Evidemment, ce n'était de ma part (le 24 à 13h51) qu'extrapolation fantaisiste.
Je me doutais bien que ce n'était pas si simple. Cela aurait été trop beau!

Mais, nous sommes tous persuadés que les mathématiques recèlent des beautés cachées qui ne se dévoilent qu'à ses amants les plus assidus

ohhhhhhhhh joli ! dhalte

dhalte >> VB.net, je crois pas que ce soit le top niveau calcul !

_{Tout ceux qui font du VB sont des sous-programmeurs bien sûr!}

Merci, matovitch, je prendrai cela pour de l'humour au second degré. J'espère quand même que tu sais de quoi tu parles. Je serais déçu qu'un avis aussi tranché ne soit que de la frime.

Je précise que le langage n'est qu'un outil et que le travail (peut-être peut-on parler de création) réside dans la conception de l'algorithme.

Dans ce cas je laisse aux vrais programmeurs le soin de pisser du code avec le langage qu'il leur plait de vénérer et je me réserve la partie créatrice.

Salutations.