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Niveau Maths sup
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Démonstration du théorème de Gauss

Posté par
CauchyIsTheBest
04-04-08 à 00:30

Bonjour à tous, je suis en deuxieme année de classes préparatoires et voici un problème que je n'arrive pas à résoudre. Si vous pouviez m'aider, je vous en serais extrèmement reconnaissant.

Théorème de Gauss: Sur un compact K de E, d'intérieur non vide, on suppose que les hypothèses de la formule d'Ostrogradsky sont valides, le théorème de Gauss nous donne la relation:

FluxK(OM(vecteur)/OM3)=
                                           4 si O K
                                           0 si O K

Démonstration du théorème de Gauss:
1. Conclure directement si O K
2. Si O K.

Je ne vois pas très bien comment commencer pour la question 1.

Pour la question 2, j'ai remplacé K par K'=K/B avec B une boule fermée de centre O, de rayon , contenue dans K. Je pense être dans le bon chemin mais je suis bloqué. Mon prof m'a expliqué qu'en faisant ca, on revient au cas précédent et qu'il faut alors orienter le bord
K'= (K) (B) de telle sorte que le vecteur normal à B soit -OM(vecteur)/OM.

PS: Ceci est mon premier post alors soyez indulgents quant à mon écriture s'il vous plait. En vous remerciant.

Edit Coll : niveau modifié

Posté par
PIL
Démonstration du théorème de Gauss 06-04-08 à 13:12

Bonjour !

Question 1.  Vous allez utiliser la formule d'Ostrogradsky, valable pour votre champ vectoriel lorsque O n'est pas dans K. Donc vous allez calculer  la divergence de votre champ, et tout sera clair !
Bon travail.

Posté par
CauchyIsTheBest
re : Démonstration du théorème de Gauss 06-04-08 à 21:01

Merci PIL, je vais tout de suite essayer ça sur le papier! Merci beaucoup.

Posté par
CauchyIsTheBest
re : Démonstration du théorème de Gauss 11-04-08 à 12:27

Raah, je suis toujours bloqué pour la question 2, des idées?

Posté par
PIL
Démonstration du théorème de Gauss 11-04-08 à 22:16

Bonsoir !

Question 2. Vous orientez votre K' par la normale extérieure et vous appliquez le résultat de la question 1 : le flux de votre champ qui sort de K' est donc nul !  Mais c'est le flux qui sort de K qui vous intéresse. Alors vous remarquez que le flux qui sort de K est la somme du flux qui sort de B (normale extérieure) et du flux qui sort de K' ( à cause des orientations, les flux à travers B se compensent !). Il vous reste à calculer le flux qui sort de B et là, vous retroussez vos manches pour calculer cette intégrale de surface ...
Tout de bon !

Posté par
CauchyIsTheBest
re : Démonstration du théorème de Gauss 26-04-08 à 22:29

Merci PIL, j'ai réussi grâce à toi. Après coup, je me rends compte que c'était facile.



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