taux effectif moyen d'un emprunt annuités

Posté par petimodel petimodel

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercise sur les annuités, voici l'énoncé:
    Une société enprunt un capital remboursable par annuités constantes de fin de période, compte tenu des taux    annuels d'intérêts suivant:  - 4% pendant les 5 premières années
                             - 5% pendant les 5 suivantes
                             - 6% pendant les 5 dernières
    Ainsi calculée, l'annuité de remboursemt est de 2331414,00€
1-Evaluer à la date d'émission de l'emprunt, la valeur actuelle des 5 premières annuités, puis celle des 5 suivantes, puis celles des 5 dernièrs.Endéduire le montant de l'emprunt (arrondir à 1000€ inférieurs)
2-En supposant que l'opération ne soit soumise à aucun frais, ni impôt, quel est le taux effectif myen de cet emprunt?

Voilà pour l'énoncé. Je pense avoir trouver le 1-:
pour les valeurs actuelles: Va1 (4%)= 10379045
                            Va2 (5%)= 8304200
                            Va3 (6%)= 6330555
Montant de l'emprunt = Va1+Va2+Va3= 25000000  (arrondi)

Par contre je n'arrive pas à trouver le 2-. Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît?

Posté par niparg niparg

>bonjour
>pour les 5 premieres annuites je trouve V(1)=10379040.91€ (au centime d'euro près)
>êtes-vous certain de la valeur de l'annuité donnée:2331414 € ?
>pour les 5 suivantes je trouve V(2)=8296369,90 € (au centime près)
>pour les 5 dernières je trouve V(3)=6324585,65 e (au centime près)
>pour le capital emprunté je trouve C=24999996.46 € soit 25000000 € (arrondie au 1000 € supérieurs)
>quant à la deuxième question: il suffit de substituer à l'emprunt donné à taux variable un emprunt à taux constant i présentant les mêmes caractéristiques, à savoir: capital emprunté:25000000 €;remboursement par 15 annuités constantes de fin de période et de montant 2331414 €;taux annuel d'emprunt i .
>i s'obtient à partir de l'équation classique des emprunts:
25000000= 2331414*[1-((1+i)^-15)/i
<bon courage

Posté par petimodel petimodel

Merci de m'avoir répondu si vite. Il est vrai que j'ai fait une erreur  sur la valeur de l'annuité constante: 2331414,70€ et non: 2331414,00€. Merci encore à vous pour votre aide.

Posté par niparg niparg

>bonjour
>compte tenu de votre remarque je trouve:
V(1)=10379044.02 €
V(2)=8296372.40 €
V(3)=6324587.55 €
soit C=25000003.97 € soit C=25000000 €  (arrondie au 1000 € inférieurs)
Compte tenu de vos résultats j'aimerais bien connaître les formules d'actualisation que vous utilisez

Posté par petimodel petimodel

pour Va1, j'ai utilisé: 2331415 (arrondi)* ((1- (1,04)^-5)/0,04)

pour Va2                2331415 * ((1-(1,05)^-5)/0,05)* (1,05)^-4

pour Va3                2331415* ((1-(1,06)^-5)/0,06)*(1,05)^-9

Posté par niparg niparg

<bonjour
>1ere remarque : ne pas arrondir le montant de l'annuité dans vos calculs
2eme remarque: la formule utilisée pour le  calcul de Va1 est bonne,mais les deux autres sont fausses (je me doutais de cette situation compte tenu de vos résultats)
calcul de Va2:
Va2=2331414.70*{[1-((1.05)^-5)]/0.05}*(1.04^-5)   (I)
je m'explique:je note 0 la date d'échéance du capital emprunté, 1,2,3.....,15 les dates d'échéance des 15 annuités;pour actualiser les cinq annuités de dates d'écheance 6,7,8,9,10 il faut procéder en deux étapes car le taux change à la date 5, il "passe" de 4% à 5%: on les actualise d'abord à la date 5 au taux égal 5% ce qui donne 2331414.70*{[1-((1.05)^-5)]/0.05}puis ce montant il faut l'actualiser à la date 0 à l'aide du taux 4% ce qui l'expression (I)
je vous conseille de dessiner un axe sur lequel vous reportez les dates d'échéance des annuités et ainsi suivre mon raisonnement
dites moi si vous rencontrez des difficultés
donnez moi si vous le pouvez la formule pour Va3
bon courage

Posté par petimodel petimodel

Bonjour Niparg
Je n'avais compris du tout alors!
D'aprés ce que vous m'avez expliqué pour Va3 je trouve:
2331414,70*((1-(1,06)^(-5)/0,06)*(1,05)^(-5)*(1,04)*^(-5)=6324587,553
Est-ce que c'est bon? Merci.

Posté par niparg niparg

>bonsoir
>je suis d'accord avec votre formule

Posté par polina polina

Bonjour à tous!

J'ai trouvé ici la réponse à ma question concernant l'exo 4 de cette série en maths appliquées, et j'ai vu que les personnes expliquent très bien le sujet.
C'est pour cela que j'ai décidé de vous demander de l'aide pour deux autres exercices (si qqn est en même formation vous connaissez les énoncés, sinon je les donnerai sur ce forum).
Merci à tous ceux qui pourraient m'aider, pas forcement donner la solution, mais aider appliquer les formules et surtout pour avoir le résultat "potable".

Bonne soirée à vous,

Pauline

Je laisserai mon mail s'il le faut.

Posté par niparg niparg

bonjour
je veux bien vous aider mais ne connaissant pas les énoncés de vos  deux exercices je vais vous demander de bien vouloir les envoyer.
niparg

Posté par polina polina

cher interlocuteur,
je vous remercie d'avoir réagi et si rapidement à mon message; je suis déjà secrétaire-comptable dans une petite entreprise et cette formation me sert de remise à niveau, je n'ai presque pas de problèmes avec la compta ni gestion de personnel mais les maths... que j'ai jamais fait auparavant sauf école il y a .... années, alors je vous expose les devoirs ci-dessous et compte bien sur vos précieuses explications: ( en l'occurence, si qqn a besoin d'un coup de main avec les critures comptables, je pourrais renseigner)))

1. Une personne emprunte une certaine somme à intérêts composés (taux:5%) et les prêteur lui demande que le remboursement soit fait par 4 annuités de 40 000 € chacune, la première devant être versée dans un an.L'emrunteur prèfére s'acquitter en 2 paiements d'agle valeur, le premier dans un an et le second dans 2 ans. Quel est le montant des 2 paiements? - Franchement, connaissant le formule, cela semblerait être facile/ mais j'ai essayé les calculs et les résultats obtenus ne sont pas exploitables, négatifs de surcroît!

2.Pour régler une dette, vous avez le choix entre deux procédés:

- 10 versements annuels de 12 000, le premier ayant lieu dans 2 ans,
- un versement unique dans 7 ans. taux: 4.50 %.

Déterminer le montant de la dette.

Déterminer le montant du versement unique à éffectuer dans 7 ans pour que les 2 modes de paiement soient équivalents. (Là, je ne sais même pas par où commencer, qu'est ce qui doit être exprimé comme "x" etc).

merci encore une fois,
bonne soirée à vous,
Pauline

Posté par niparg niparg

.bonsoir
je vous donne une indication pour le premier exercice: écrivez que les  deux systèmes de règlement sont équivalents, au taux de 5%, à la date zéro(date de négociation du prêt).

Posté par niparg niparg

bonjour
n'ayant pas eu de réponse de votre part je suppose que vous avez des difficultés à utiliser mon indication
si C est le capital emprunté alors
le second système de règlement étant équivalent au premier on peut écrireoù X est la valeur commune des deux remboursements.
je vous laisse terminer
( pour l'exercice suivant vous devez utiliser la même technique)
bon courage

Posté par polina polina

Bonjour,

je vous remercie de votre réponse. je ne vous ai pas répondu tout de suite parce que je viens de me connecter.

je vous suivre vos indications,
j'espère y arriver.

MERCI et bonne continuation à vous aussi!

Posté par EMINIE EMINIE

Bonjour,

Est ce que par hasard vous connaitriez la formule inverse du cas présenté.
En effet, j'ai le problème inverse où l'on me demande de calculer le montant d'annuités constantes, avec des taux différents tous les 4 ans sur une période de 12 ans.

Merci d'avance.

Cordialement.

Posté par niparg niparg

bonjour
il faut écrire qu'il y a équivalence entre le capital emprunté C et les 12 annuités de remboursement de montant a
soit i₁le taux d'intérêt pour les 4 premières années, i₂le taux d'intérêt pour les 4 années suivantes,i₃le taux d'intérêt pour les 4 années suivantes et enfin i₃le taux d'intérêt pour les 4 dernières années
l'équivalence à la date du versement de C donne

Posté par dj_apulo dj_apulo

Bonjour,

Niparg, si l'on confronte ton équation à ce topic : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-422718.html,
hormis le fait qu'il y en ait un bout de trop dans ton équation, pourquoi le résultat est à diviser par 10000?
Je ne comprends pas?

Posté par niparg niparg

bonjour
effectivement j'avais lu 16 ans dans le message de EMINIE

Posté par xplo xplo

bonjour

pourquoi la va1+va2+va3= le montant de l emprunt ? exercice du 1 er poste

merci