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étude d'un polynome
Bonsoir , j'ai le polynome suivant : f(x) = -x³ + 3x² - 3x + 2 et plusieurs questions dessus , même bcp , mais j'ai essayé de répondre :
1) Montrer que f(x) - 1 = -(x-1)³ , calculer f(0) , f(2) . calculer la dérivée de f , étudier le tableau de variations de f , donner une allure de la courbe . On pose I = [0,2] , montrer que f(I) contenu dans I .
f(x) - 1 = -x³ + 3x² - 3x + 1
pour calculer -(x-1)³ j'ai utilisé le binome de newton , et j'arrive donc à -(x³-3x²*1+3x-1) , soit -x³ + 3x² - 3x + 1 , ça prouve l'égalité .
f(0) = 2 , f(2) = 0 , f'(x) = -3x²+6x-3 , le discriminant vaut 0 donc le signe de la dérivée est tjs négatif , donc la fonction est décroissante . Elle tend vers +inf quand x tend vers -inf et inversement de l'autre coté . La dérivée s'annule au point -b/2a , soit en 1 .
f(I) = [2,0] , donc c'est contenu dans I , cette explication me parait foireuse mais j'ai pas trouvé mieux .
2)Soit h(x) = f(x) - x , étudier les variations de la fonction h , puis son signe , et montrer que l'équation f(x) = x admet une unique solution x = 1 .
h(x) = -x³+3x²-4x+2 , donc f'(x) = -3x²+6x-4 , le discriminant est négatif , donc la dérivée ne s'annule pas , elle est négative donc f strictement décroissante .
Pour résoudre l'équation , je pensais utiliser le théorème des valeurs intermédiaires avec la dichotomie , par exemple je remarque que :
f(0) = 2 , f(2) = -2
f(1/2) = 5/8 , f(3/2) = -5/8
Donc soit an la suite telle que an = Somme (1/n) et bn = Somme 2 - 1/n .
Elles sont adjacentes et de limite 1 , et comme f est continue elles convergent vers 1 , donc x = 1 est la seule solution .
Que pensez vous de mes réponses , là j'y ai mis un peu plus de coeur que d'habitude 
merci de votre aide .
Bonjour,
1) correct.
La justification de f(I)
I est à améliorer en disant que ta fonction est décroissante sur [0;2], donc f([0;2]) [f(0);f(2)] = I.
Bonjour
La première partie et l'étude de h est OK.
En revanche pour f(x)=x, c'est immédiat car
f(x)-x=-(x-1)3+1-x=(x-1)(-(x-1)2-1)
c'est trop beau aussi que mon explication avec le théorème soit juste , merci camélia de ton aide mais maintenant je suis furieuse 
2) TVI ok. Il te dit qu'il existe une seule et unique solution dans [0;2] d'après ce que tu as dit. Or h(1)=0, donc cette solution est 1.
Je pense qu'il est inutile d'introduire des suites et de procéder par dichotomie. Cela aurait été utile si on te donnait pas la solution dans l'énoncé... 
bonjour severinette
Pour le 1) le seul point délicat est f(I) inclus dans I. T'utilises la décroissance que tu viens de montrer :
0 <= x <= 2 => f(0) >= f(x) >= (2) et d'après les calculs, 2 >= f(x) >=0 .
2)
pour l'unique point fixe de f, cela revient à résoudre h(x) = 0. T'utilises alors la strict décroissance de h, et le fait que ses limites soit -oo et +oo en +oo et -oo ... Cela te permet de conclure qu'il y a un unique point x tel que h(x) = 0. Or x = 1 convient
Sauf erreur.
Antoine
j'ai encore 3 toutes petites questions sur cet exercice :
Soit U0 appartient à [0,2] et la suite Un , (n >= 0) définie par U0 et Un+1 = f(Un) .
1)Montrer que U1 > U0 si 0 =< U0 < 1 et U1 < U0 si 1 < U0 =< 2 .
Comme f est décroissante que que f(1) = 1 , U1 sera tjs compris entre 2 et 1 et comme U0 est tjs plus petit que 1 , ça roule .
si U0 est supérieur à 1 et plus petit ou égal à 2 , U1 sera compris entre 1 et 0 , donc U0 sera plus grand .
2)Montrer que quelquesoit n >= 1 , Un+1 - 1 = -(Un-1)³ .
ici c'est par récurrence je pense mais le cas de base c'est quoi , n = 0 ?
merci aussi padawan , excuse moi mais vous postez tellement vite que j'avais pas vu ton post lol
Ah... j'aime mieux ça...
1) ouais... tu peux aussi utiliser la focntion h précédente: h(x) = f(x)-x.
Tu as vu que h(x) > 0 sur [0;1[, donc f(x)>x sur [0;1[. Donc U1 > U0 si 0 =< U0 < 1.
Et tu as vu que h(x) < 0 sur ]1;2], donc f(x)<x sur ]1;2]. Donc U1 < U0 si 1 < U0 =< 2.
Ok! Alors tu utilises le 1) de tout premier post: "Montrer que f(x) -1 = -(x-1)³ " avec Un+1 = f(Un).
D'après ce qui précède, pour tout n>=1, f(Un) est inclus dans [0;2], donc on peut utiliser le relation obtenue au tout début: f(x) -1 = -(x-1)³ pour x=Un: f(Un)-1 = -(Un -1)³, soit: Un+1 -1 = -(Un -1)³.
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