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Algèbre bilinéaire. "théorème du rang"?
Bonjour,
Je viens de me faire incendié par mon professeur de TD car j'ai écrit:
Pour une forme bilinéaire symétrique f sur E eve de dim finie,
on a rg(f) = dim (E) + dim (ker f)
Et je viens de vérifier dans mon cours, j'ai bien cette relation équivalent au théorème du rang de l'algèbre linéaire.
Et ce professeur me dit que ce n'est que pour l'algèbre linéaire.
Pouvez-vous m'éclaircir les idées?
Merci
Nicolas
Bonjour,
ce qui est préservé en bilinéaire c'est la relation
rg(A) = dim(E) - dim(Ker f) (1)
où A est l'une des matrices représentant la fbs f.
En revanche, f n'étant pas une application linéaire, rg(A) désigne le rang de l'une des applications linéaires représentées par la même matrice A dans une certaine base.
N'oublie pas que f(ExE) est une partie de R!
En fait cette formule provient du th. du rang appliqué à l'application linéaire f* de E dans E* canoniquement associée à f, après avoir remarqué que KEr f = Ker f* (par définition) et que si A représente f dans une base B, alors A représente aussi f*, relativement aux bases B et B* (duale de B).
La relation (1) n'est donc bien qu'une réécriture de:
rg(f*)=dim(E)-dim(Ker f*).
Tigweg
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