Forum Mathématique (Collège) :
démontrer si des sommes sont comstruites de carrés d'entiers.

bonsoir!
je ne sais pas trop si le titre est approprié mais bon : j'ai un proble me : voici l'énoncé:

Nous observons que :
                  1+2+1=4=2²
                1+2+3+2+1=9=3²
               1+2+3+4+3+2+1=16=4²
                  .....

Les sommes aisi construites sont-elles toutes des carrés d'enttiers ? si oui, le démontrer : si non , indiquer un exemple où cette propriété n'est pas satisfaite.

mes pistes: moi , j'ai trouver que oui elle étaint toutes construites de carrés d'entiers ( simplement en faisant des calculs ) mais je ne sais pas le démontrer
.. pouvez-vous m'aider ???

(c'est aussi un problème d'olympiades

Bonjour,

Sais-tu ce que vaut 1+2+3+...+n ?

Nicolas

je suis désolée mais je ne comprend pas ce que tu veux dire pas la

Sais-tu calculer, par exemple :
1+2+3+...+13+14 = ... ?

Je peux le calculer (calcul mental ou machine) mais je ne sais pas ce que cela représente en math.  Est-ce que tu peux m'aider??

bonsoir
et aussi ce que ça a avoir ?

Bon Nicolas étant parti :

1ère partie :

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =

Exemple :

1 + 2 + 3 = ?

n = 3

n + 1 = 4

Donc la somme vaut : = = = 6

C'est bien ce qu'on avait plus haut.

Es-tu ok jusque là ?

oui, je le comprends bien

bonjour Baboulat et Violoncellenoir
on a : 1+2+...+(n-2)+(n-1)+n+(n-1)+(n-2)...+2+1
on associe chaque nombre à gauche de n avec chaque nombre à droite de n, dans le même ordre et on ajoute à cette addition le n central
(1+n-1)+(2+n-2)...+(n-2+2)+(n-1+1) + n
soit (n-1) paires ayant chacune la somme n, plus le nombre n
donc (n-1)+n = (n-1+1)*n = n*n = n²
visuellement dans un carré n*n, on reconnaît le nombre de carreaux de chaque ligne diagonale montant vers la droite

Ok 2 sec je te mets la 2ème partie

et si je continue j'arrive à

n(n+1)/2  + (n-1)n/2.

Mais je ne comprends pas en quoi celà démontre mon problème.

désolée
je n'avais pas vu la réponse, je regarde

merci beaucoup de m'avoir expliqué ou d'avoir commencé a m'expliquer ,je pense avoir compris .
mais si ,violon, tu as une autre solution tu peut toujours me la donner.

merci beaucoup a tous

bonne soirée


marine ( baboutal01)

Additionnons +

On obtient :

+ = = n²

cqfd

As-tu compris la finalité ?