composée de deux homothétie

Posté par rego rego

Bonjour à tous! J'ai un exercice qui me pose quelques soucis, je vous propose ce que j'ai trouvé et j'aimerais solliciter votre aide pour la suite...

Dans le plan complexe, on donne deux points quelconques A et B, d'affixes respectives a et b, k et k' étant des réels non nuls donnés, on note h l'homothétie de centre A et de rapport k et h', l'homothétie de centre B et de rapport k'.

1) Donner l'écriture complexe de l'application composée f = f' o f.
z1'= kz + a  et z2' = k'z+b  -->  z" = k'(kz+a)+b = kk'z+(k'a+b) = kk'z + (k'a+b)
--> z" = Kz + B où K est un réel.


2a) on suppose que k'= 1/k. Montrer que f est une translation et exprimer son vecteur u en fonction de k et du vecteur AB.
Si k'=1/k, alors K=k'k=1/k * k=1. Donc z"=z+b --> translation de vecteur u d'affixe k'a+b.

b) exemple: On prend k=3 et k'=1/3. Faire une figure illustrant le résultat obtenue
Je vois pas trop comment faire ici... je prend n'importe quel point de départ ?

3 On suppose que k' différent de k.
a) Montrer que f laisse invariant un point C, et un seul, et que ce point est aligné avec A et B, on exprimera le vecteur AC en fonction de k, k' et du vecteur AB.
Je comprend la question mais je ne vois pas du tout par quel moyen la résoudre...

b) Montrer que l'écriture complexe de f se met sous la forme z'=kk'(z-c)+c où c est l'affixe de C.En déduire la nature et les caractéristiques de f.
On a vu que z"=kk'z + (k'a+b)  donc z"=kk'(z-c) + c avec c=k'a+b.  Ce résultat me semble faux...
f est donc une homothétie de rapport kk'

c) Exemple: On prend k=2 et k'=-3/2. Faire une figure illustrant le résultat obtenue.
Même soucis que pour la question 2b), est-ce que je dois prendre un point de départ, et si oui lequel ?



Merci d'avance pour votre aide, à très bientôt.
Rego.

Posté par rego rego

personne ne peut m'aider ?

Posté par watik watik

bonjour

1) tu as fais une erreur en écrivant z1'= kz + a car A n'est plus le centre de l'homotéthie

il faut écrire

z1'-a=k(z-a) donc z1'=kz+(1-k)a

de m^me z2'=k'z+(1-k')b

Posté par rego rego

A n'est plus le centre d'homothétie pour h' mais il l'est pour h, je ne comprend pas pourquoi l'écriture est fausse, dsl :/ ...

Posté par watik watik

vérifies pour t'en assurer que A centre de h n'est plus invariant par h si tu écris en complexe que
z1'=h(z)=kz+a

Posté par rego rego

J'ai vraiment du mal, et je n'arrive pas à avancer!
Pourriez-vous me donner des pistes de réflexions s'il vous plait!

Posté par rego rego

up

Posté par rego rego

En fait j'ai compris pour les questions 2b) et 3c) , mais je n'arrive pas à trouver les écritures complexes des transformations...

Posté par rego rego

S'il vous plait !!!!!
Je ne vous demande pas de faire l'exercice à ma place mais juste une piste pour répondre à la première question!

Posté par rego rego

pour la question 1)
J'ai compris mon erreur0
l'écriture complexe de la transformation h est : z1' = k (z - a ) + a .
l'écriture complexe de la transformation h' est : z2' = k' (z - b ) + b .

Donc l'écriture complexe de la transformation f est : z' = k' [(k (z - a ) + a) - b ] + b .
z"= k'(kz-ka+a-b) +b = k'kz-k'ka+k'a-k'b+b  =  k'k (z-a) + k'(a-b) +b
Pour le moment, est-ce juste ?

Comment arriver à z'=kk'(z-c) +c  pour la question 3b)?

Merci d'avance.

Posté par rego rego

J'ai réussi à répondre à toutes les questions! sauf 3b)...aidez-moi svp!!!!