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Question d'intégration (2)

   
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re : Question d'intégration (2)#msg1791499 Posté le 09-04-08 à 21:38
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je viens de percuter dans ton message de 21h00
Tu dis que ça ne marche pas pour L1, pourtant, j'ai bien l'impression que si (d'ailleurs, tu l'as bien montré).

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791506 Posté le 09-04-08 à 21:40
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui, ceci est correct mais c'est ensuite où ça coince : tu n'utilises pas correctement Hölder.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791513 Posté le 09-04-08 à 21:43
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Pourtant on voit cela comme :
\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}(|f(x-y)|^{\frac{1}{p}})(|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}|g(y)|)dy

Je ne vois pas mon erreur dans mon utilisation de Hölder.
re : Question d'intégration (2)#msg1791537 Posté le 09-04-08 à 21:50
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
Tu dis que ça ne marche pas pour L1, pourtant, j'ai bien l'impression que si (d'ailleurs, tu l'as bien montré).

Oui, je m'en suis rendu compte en écrivant
re : Question d'intégration (2)#msg1791539 Posté le 09-04-08 à 21:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Encore une fois, c'est que tu as mal séparé ce que tu veux séparer.
Je t'avais dit décrire les choses ainsi :

\Large{|f(x-y)g(y)|=(|f(x-y)|^{\frac{1}{q}})(|f(x-y)|^{\frac{1}{p}}g(t))}

et non pas

\Large{|f(x-y)g(t)|=(|f(x-y)|^{\frac{1}{p}})(|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}g(t))} \\ \\

Tu as utilisé l'inégalité de Hölder mais telle que tu l'as utilisée, tu ne vas pas aboutir du tout.
De toutes façons, g est dans Lp, donc il faut bien faire apparaitre \Large{|g(y)|^p}, non ?


Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791540 Posté le 09-04-08 à 21:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

message de 21h50 : OK !

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791573 Posté le 09-04-08 à 22:01
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok donc plutôt :
\Large{|f\star%20g(x)|=|\Bigint_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy|\le%20\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)||g(y)|dy=\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}|f(x-y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|dy

Puis :
\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}|f(x-y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|dy\le \Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{p}{q}}dy\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)||g(y)|^pdy

Je fais un blocage là!
re : Question d'intégration (2)#msg1791592 Posté le 09-04-08 à 22:07
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

je ne suis pas d'accord : dans la dernière résultat, dans la première intégrale , f(x-y) ne doit apparaitre avec aucune puissance (car on a doit élever \Large{|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}} à la puissance q et non pas à la puissance p).

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791599 Posté le 09-04-08 à 22:08
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

autre chose : en majorant, tu as oublié d'élever les intégrales respectivement à la puissance q et à la puissance p.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791605 Posté le 09-04-08 à 22:09
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc c'est :
\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}|f(x-y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|dy\le%20\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|dy\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{q}{p}}|g(y)|^qdy=||f||_1\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{q}{p}}|g(y)|^qdy
re : Question d'intégration (2)#msg1791613 Posté le 09-04-08 à 22:12
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Euh oui donc plutôt :
\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}|f(x-y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|dy\le%20(\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|dy)^{\frac{1}{q}}(\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)||g(y)|^pdy)^{\frac{1}{p}}
re : Question d'intégration (2)#msg1791621 Posté le 09-04-08 à 22:14
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

message de 22h12 : oui, c'est bien ça.

Maintenant, tu élèves le tout à la puissance p et tu intègres.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791636 Posté le 09-04-08 à 22:21
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc :
\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}(\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)|^{\frac{1}{q}}|f(x-y)|^{\frac{1}{p}}|g(y)|dy)^pdx\le%20||f||_1^{\frac{p}{q}}\Bigint_{\mathbb{R}}(\Bigint_{\mathbb{R}}|f(x-y)||g(y)|^pdy)dx=||f||_1^{\frac{p}{q}+1}||g||_p ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791650 Posté le 09-04-08 à 22:28
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

c'est presque correct : à la fin c'est plutôt \Large{||g||_{p}^{p}}.

Ensuite, reste à élever le tout à la puissance 1/p.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791660 Posté le 09-04-08 à 22:33
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On a donc pours l'instant que |\Large{||f\ast g||_p^p\le ||f||_1^{\frac{p}{q}+1}||g||_p^p c'est bien ça ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791661 Posté le 09-04-08 à 22:33
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791665 Posté le 09-04-08 à 22:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Donc : \Large{||f\ast%20g||_p\le%20||f||_1^{\frac{\frac{p}{q}+1}{p}}||g||_p.
Il reste à montrer que : ||f||_1^{\frac{\frac{p}{q}+1}{p}}\le ||f||_1 ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791683 Posté le 09-04-08 à 22:45
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On a montré que :
\Large{||f\ast%20g||_p^p\le%20||f||_1^{\frac{p}{q}}||g||_p^p||f||_1

C'est presque le résultat à \Large{||f||_1^{\frac{p}{q}} près ! Que faire de ce terme ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791702 Posté le 09-04-08 à 22:52
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Comme dit dans mon message de 22h28, il faut élever le tout à la puissance 1/p.
Ensuite utilise le fait que \Large{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791718 Posté le 09-04-08 à 23:07
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah ok! J'ai parfaitement compris la démonstration!
Elle sert beaucoup j'imagine? Dans quel cadre précis de la théorie de l'intégration?


Sinon, pour en revenir à ta méthode :
On a que \Large{||h_n-h\star%20f_{A}||_2=||h\star(f_{A,n}-f_{A})||_2}
\Large{h\in L^1\cap L^2
\Large{f_{A}\in L^2
Il faut montrer que \Large{f_{A,n}\in L^2 car il me semble pas l'avoir fait : on a \Large{\Bigint_{\mathbb{R}}|f_{A,n}(x)|^2dx=\Bigint_{-n}^n|f_{A}(x)|^2dx et on intègre donc une fonction continue sur un compact donc c'est ok ?
Par suite on a que \Large{||h\star(f_{A,n}-f_{A})||_2\le ||h||_1||f_{A,n}-f_{A}||_2, soit, \Large{||h_n-h\star%20f_{A}||_2\le ||h||_1||f_{A,n}-f_{A}||_2}

Or \Large{||f_{A,n}-f_{A}||_2 tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini (par la cv. dominée de Lebesgue) d'ou \Large{||h_n-h\star%20f_{A}||_2 tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Par continuité de la transformation de Fourier sur L^2, on a aussi que \Large{||\hat{h}_n-\hat{h\star%20f_{A}}||_2=||\hat{h}_n-\hat{h}\times\hat{f}_{A}}||_2 tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Ce qui implique que \Large{||\hat{h}_n-\hat{h}\times\hat{f}_{A}}||_2^2 tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini cad le résultat demandé.
re : Question d'intégration (2)#msg1791721 Posté le 09-04-08 à 23:09
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Elle sert beaucoup j'imagine? Dans quel cadre précis de la théorie de l'intégration?


Le résultat ou la démo ?

Pour la suite, tout est OK.

Kaiser
P.S : Je reviens dans 20 minutes.
re : Question d'intégration (2)#msg1791725 Posté le 09-04-08 à 23:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ensuite pour en revenir à la dernière question :
On a montré que \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f} est bien dans \Large{L^1\cap L^2.

Ensuite on cherche \Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f})=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\times%20\hat{f}(t)e^{iwt}dw=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-A}^A\hat{f}(t)e^{iwt}dw c'est à priori la formulation intégrale que l'on applique, puisque nous sommes sur L^1 en particulier non ?

Ensuite on écrit que \Large{\hat{f}=\mathcal{TF}(f)=\lim_{n\to +\infty} \, \mathcal{TF}(f_n) où (f_n)_n est une suite de L^1\cap L^2 qui converge au sens L^2 vers f ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791726 Posté le 09-04-08 à 23:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
Le résultat ou la démo ?

Non je parle du résultat!
re : Question d'intégration (2)#msg1791737 Posté le 09-04-08 à 23:31
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

message de 23h20 : oui

message de 23h20 : ce résultat est utile dans des résultats d'approximations ou de densité.
Plus précisément, tu sais probablement que la convolution a un effet régularisant, c'est-à-dire que si convole une fonction mesurable avec une fonction relativement régulière (c'est-à-dire continue, de classe \Large{C^1},\Large{C^k}) , alors tu obtiens fonction régulière.
Par exemple, on peut montrer que l'ensemble des fonctions de classes \Large{C^{\infty}} à support compact (c'est-à-dire nulle en dehors d'un compact) est dense dans \Large{L^p} pour tout p différent de l'infini.
Autre exemple : ça permet également de montrer des convergences de séries de Fourier dans \Large{L^p(0,2\pi)}.

Si tu n'as pas encore vu ces trucs, tu les verras en temps utiles.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791741 Posté le 09-04-08 à 23:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Oui, c'est encore loin pour moi kaiser! Cela fait combien de temps que tu pratiques la th. de l'intégration de Lebesgue ? Un livre référence ?
--

Sinon pour en revenir à l'exercice on doit bien montrer que \Large{P_A(f)=\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times \hat{f}) ?
Soit \Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times \hat{f})=\Bigint_{\mathbb{R}}f(u)f_A(t-u)du ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791756 Posté le 09-04-08 à 23:47
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Cela fait combien de temps que tu pratiques la th. de l'intégration de Lebesgue ?


ça va bientôt faire 3 ans.

Citation :
Un livre référence ?


Ce n'est que cette année que j'ai commencé à bosser sur des bouquins et le seul que j'ai en ma possession qui parle d'intégration c'est le Rudin (analyse réelle et complexe). En fait, ça parle principalement d'analyse complexe (d'ailleurs, tu n'en as pas encore fait ?) mais il y a quelques chapitres sur la théorie de l'intégration dont 2 qui s'intitule "théorie abstraite de l'intégration" et "intégration sur les espaces produits" (les autres c'est un peu limite). L'inconvénient est que les exos présents dans le livre ne sont pas corrigés. Pour des bouquins, d'exo je ne m'y connais pas trop.

Pour la suite, c'est bien ce que l'on doit démontrer.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791761 Posté le 09-04-08 à 23:50
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok! J'ai fait de timide début en analyse complexe, autant dire que je n'y ai jamais touché. Ce qui m'intéresse le plus en ce moment est la théorie de l'intégration, à la base de tant de chose.

J'ai essayé de montrer le truc, mais je n'y arrive pas! Dois-je expliciter la suite (f_n)_n que je prends ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791764 Posté le 10-04-08 à 00:00
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Ok! J'ai fait de timide début en analyse complexe, autant dire que je n'y ai jamais touché. Ce qui m'intéresse le plus en ce moment est la théorie de l'intégration, à la base de tant de chose.


OK

Citation :
J'ai essayé de montrer le truc, mais je n'y arrive pas! Dois-je expliciter la suite (f_n)_n que je prends ?


Non, par contre si ça peut t'aider, on peut toujours supposer, quitte à extraire une sous-suite, qu'elle converge presque partout vers f (d'après la réciproque de Lebesgue).
Bref, commence par m'écrire le début de ton calcul : on verra ensuite ce que va en faire.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791765 Posté le 10-04-08 à 00:01
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
on peut toujours supposer, quitte à extraire une sous-suite, qu'elle converge presque partout vers f


bien sûr, en plus de supposer qu'elle converge au sens L².

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791770 Posté le 10-04-08 à 00:14
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok.
J'ai du mal avec la limite en fait.
Mais je pense qu'écrire ceci est correct : \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\times%20\hat{f}(t)e^{iwt}=\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\mathcal{TF}(f_n)e^{iwt} (*).

On utilise la convergence dominée puisque on a (*) et \Large{|\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\times%20\hat{f}(t)e^{iwt}|\le |\hat{f}(t)|. Comme f\in L^2, \hat{f} aussi donc c'est Ok : \Large{\Bigint_{\mathbb{R}}|\hat{f}(t)|^2dt<+\infty.

On en déduit donc que \Large{\lim_{n\to +\infty} ||\mathbb{1}_{[-A,A]}\mathcal{TF}(f_n)e^{.}-\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f}e^{.}||_2=0

Soit \Large{\lim_{n\to +\infty} ||\mathbb{1}_{[-A,A]}e^{.}\mathcal{TF}(f_n-f)||_2=0
.
re : Question d'intégration (2)#msg1791774 Posté le 10-04-08 à 00:23
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Avant le "on en déduit", je n'ai pas compris ce que tu as fait. Tu appliques la convergence dominée mais dans quel but ?
Autre chose, précise bien dans quel sens tu entends "limite" : au début, j'ai l'impression que tu dis qu'il y a convergence presque partout ( a priori non).

mais au final, qu'essaie tu de montrer ?

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791777 Posté le 10-04-08 à 00:26
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On a :
\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f})=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-A}^A\hat{f}(t)e^{iwt}dw

Que j'écris :
\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f})=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-A}^A[\lim_{n\to +\infty} \, \mathcal{TF}(f_n)(t)]e^{iwt}dw

J'ai donc pensé bon de croire qu'il pouvait y avoir interversion limite-intégrale en faite.
re : Question d'intégration (2)#msg1791781 Posté le 10-04-08 à 00:37
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

OK, dans ce cas,voici ce qu'il faut dire (pour dire juste ce qu'il faut).

1) comme \Large{f_n} converge vers f au sens L² alors \Large{\hat{f_n}} converge vers \Large{\hat{f}} au sens L² et cela implique sans effort que \Large{\mathbb{1}_{A}\hat{f_n}} converge vers \Large{\mathbb{1}_{A}\hat{f}} au sens L² et donc par continuité de la transformée de Fourier inverse, \Large{\cal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{A}\hat{f_n})} converge vers \Large{\cal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{A}\hat{f})}

2) l'idée est alors de calculer cette limite L² d'une autre manière (en calculant).

IL faut donc transformer l'expression \Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f_n})=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-A}^A\hat{f_n}(t)e^{iwt}dw

et montrer que ça converge vers \Large{P_A(f)} (par exemple presque partout).

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791786 Posté le 10-04-08 à 00:49
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Attends deux secondes, pour pouvoir écrire que :
\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f_n})=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-A}^A\hat{f_n}(t)e^{iwt}dw

Il faut montrer que \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f_n}\in L^1. A priori \hat{f_n} n'est pas dans L^1, si ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791788 Posté le 10-04-08 à 00:49
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah oui mais, c'est encore le fait que l'on intègre une fonction continue sur un compact, c'est bien ça ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791789 Posté le 10-04-08 à 00:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

message de 00h49 : oui, c'est bien ça.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791798 Posté le 10-04-08 à 01:13
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
cela implique sans effort

C'est sûr ?

Vraiment je vois pas!
Il faut utiliser le fait que \Large{P_A(f)=f_A\ast f} ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791800 Posté le 10-04-08 à 01:18
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui, c'est sûr :

\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}|\mathbb{1}_{A}\hat{f_n}(t)-\mathbb{1}_{A}\hat{f}(t)|^2dt =\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{A}|\hat{f_n}(t)-\hat{f}(t)|^2dt \leq\Bigint_{\mathbb{R}}|\hat{f_n}(t)-\hat{f}(t)|^2dt }

et ceci tend vers 0.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1791803 Posté le 10-04-08 à 01:27
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok!

Le fait que \Large{f_A\in L^2 et que \Large{f\in L^2 n'implique pas que \Large{f_A\ast f soit dans \Large{L^2 ?

Le résultat que \Large{\hat{P_A}(f)=\mathbb{1}_{[-A,A]}\times \hat{f} est immédiat car la transformée de Fourier échange produit de convolution et multiplication :
\Large{\hat{P_A}(f)=\hat{f_A\ast f}=\hat{f_A}\times \hat{f}=\mathbb{1}_{[-A,A]}\times \hat{f}.

Je vais un gros blocage pour montrer que c'est dans L^2 par contre!
re : Question d'intégration (2)#msg1791804 Posté le 10-04-08 à 01:38
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Le fait que \Large{f_A\in%20L^2 et que \Large{f\in%20L^2 n'implique pas que \Large{f_A\ast%20f soit dans \Large{L^2?


Absolument pas. On sait simplement que c'est borné.

Du coup, prendre sa transformée de Fourier n'a a priori pas de sens et donc ton raisonnement consistant à dire que la transformée de Fourier transforme une convolution en produit ne tient pas (c'est pour ça qu'il faut revenir en arrière avec la suite \Large{f_n}.

Du coup, on fait la question à l'envers : on montrer d'abord cette égalité mais de manière détournée (sans appliquer la transformée de Fourier à PA(f) puisque celle-ci n'est a priori pas définie) en disant que PA(f) est la transformée de Fourier inverse de l'élément \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f} de L².

Or la transformée de Fourier inverse va de L² dans L² donc PA(f) sera L² et alors on pourra dire que la transformée de Fourier de \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f} est PA(f).

Bref, le truc pas évident à montrer est que la transformée de Fourier inverse de \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\times%20\hat{f} est PA(f).

Kaiser

P.S : je vais dormir donc bonne nuit !
re : Question d'intégration (2)#msg1791805 Posté le 10-04-08 à 01:45
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Oui, pas évident c'est sûr!
La je ne le vois pas, je vais dormir aussi. J'y réfléchis!

Bonne nuit!
re : Question d'intégration (2)#msg1791874 Posté le 10-04-08 à 10:21
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok je n'avais même pas compris que l'on passe par une suite hier!
En faite, on a que \Large{f_n\in L^1\cap L^2 telle que \Large{\lim_{n\to +\infty}\,||f_n-f||_2=0.

Par continuité, \Large{\lim_{n\to +\infty}\,||\mathcal{TF}(f_n)-\mathcal{TF}(f)||_2=0.

Ceci implique que \Large{\lim_{n\to +\infty}\,||\mathbb{1}_{[-A,A]}\mathcal{TF}(f_n)-\mathbb{1}_{[-A,A]}\mathcal{TF}(f)||_2=0.

On montre alors que \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\mathcal{TF}(f_n) converge vers \Large{P_A(f), par unicité de la limite, on aura que \Large{\mathbb{1}_{[-A,A]}\mathcal{TF}(f)=P_A(f).

Est-ce le raisonnement ?
re : Question d'intégration (2)#msg1791875 Posté le 10-04-08 à 10:23
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Il s'agit donc de calculer \Large{\lim_{n\to +\infty}\, \mathbb{1}_{[-A,A]}\mathcal{TF}(f_n) ?
re : Question d'intégration (2)#msg1792029 Posté le 10-04-08 à 11:59
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'ai oublié des ^{-1} partout!
Je vois pas comment aboutir.

On a \Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times\hat{f}_n)=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\times\hat{f}_n(t)e^{iwt}dw

Et la seule chose qui puisse se rapprocher de l'expression de \Large{P_A(f) est \Large{\Bigint_{\mathbb{R}}f_n(t)f_A(t-u)dw.

Enfin bref, je ne vois pas!
re : Question d'intégration (2)#msg1793239 Posté le 10-04-08 à 19:07
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui c'est le raisonnement.

Pour ton dernier message : explicite la transformation de Fourier de fn et ensuite tu fubinises.

Kaiser
re : Question d'intégration (2)#msg1793730 Posté le 10-04-08 à 22:25
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'ai \Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times\hat{f}_n)=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)(\Bigint_{\mathbb{R}}f_n(t)e^{-iwt}dt)e^{iwt}dw

Mais est-ce les "même" t et w ?
re : Question d'intégration (2)#msg1793754 Posté le 10-04-08 à 22:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

A priori le "w" n'est pas le même, si ?
re : Question d'intégration (2)#msg1793795 Posté le 10-04-08 à 22:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

tu n'as pas pris assez de variables (surtout que le t qui se trouve en dehors de l'intégrale est un peu douteux) et donc non ce n'est pas le mêmew. De plus, n'oublie pas d'écrire la variable dont dépend la transformée inverse. On doit donc plutôt écrire :


\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\times\hat{f}_n)(w)=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)(\Bigint_{\mathbb{R}}f_n(u)e^{-iut}du)e^{iwt}dt

Ensuite Fubini (avec peut-être un changement de variable).

Kaiser
P.S : Je te préviens tout de suite : pour ma part, ça sera la dernière question pour laquelle je pourrai t'aider. En effet, d'une part, ce soir je ne suis pas en état pour en faire trop et d'autre part, ces jours-ci, il faudra que je me mette à bosser de mon côté.
re : Question d'intégration (2)#msg1793850 Posté le 10-04-08 à 23:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Alors j'ai fait ceci en utilisant Fubini-Tonelli :
\Large{\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}|\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)f_n(u)e^{-itu}e^{iwt}|dtdu=\frac{A}{\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}|f_n(u)|du<+\infty

Donc Fubini s'applique :
\Large{\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)f_n(u)e^{-itu}e^{iwt}dtdu=\Bigint_{\mathbb{R}}(\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)e^{it(w-u)}dt)f_n(u)du=\Bigint_{\mathbb{R}}f_A(w-u)f_n(u)du

Et aussi :
\Large{\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)f_n(u)e^{-itu}e^{iwt}dtdu=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)(\Bigint_{\mathbb{R}}f_n(u)e^{-itu}du)e^{iwt}dt=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\hat{f}_n(t)e^{iwt}dt

Donc :
\Large{\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{[-A,A]}(t)\hat{f}_n(t)e^{iwt}dt=\Bigint_{\mathbb{R}}f_A(w-u)f_n(u)du

Soit :
\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\hat{f}_n)(w)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_A(w-u)f_n(u)du

Par passage à la limite :
\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\hat{f}_n)(w) tend vers \Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\hat{f})(w) par continuité.

\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}f_A(w-u)f_n(u)du tend vers \Large{\Bigint_{\mathbb{R}}f_A(w-u)f(u)du par la cv. dominée.

Donc le résultat que :
\Large{\mathcal{TF}^{-1}(\mathbb{1}_{[-A,A]}\hat{f})(w)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_A(w-u)f(u)du

Donc P_A(f) est dans L^2
re : Question d'intégration (2)#msg1793895 Posté le 10-04-08 à 23:45
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je ne vois pas où est partie l'exponentielle à la fin.

Kaiser
la suit ici :

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