Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 204 : Au bout du rouleau...

Salut !

Allez puisque je suis en vacances, j'ai pu trouver un peu de temps pour vous proposer une énigme.

Ce matin, alors que j'étais tranquillement installé, je me suis aperçu un peu tard de la situation suivante : il n'y avait plus qu'une feuille sur mon rouleau de papier hygiénique ! Horreur ! Heureusement, il restait un rouleau neuf rangé derrière moi. Ouf ! Au moment où je commençais à dérouler le rouleau salvateur, une question m'a traversé l'esprit. Quelle quantité de papier cela représente-t-il ? Et oui, à force d'être suriné un peu partout par le développement durable je me demande toujours si je ne consomme pas un peu trop. Et vous ?



Bref, à l'aide d'une équerre accrochée au mur (un bon professionnel a toujours ses outils a portée de main) j'ai commencé à mesurer mon rouleau dans tous les sens. A l'état neuf, il a la forme d'un cylindre de 110 millimètres de diamètre et de 100 millimètres de hauteur, creusé d'un cylindre en carton de 40 millimètres de diamètre. Le papier, lui, a une épaisseur de 0,5 millimètre. Et oui, j'ai cette coûteuse habitude de n'acheter que du triple épaisseur ! Enfin, les rectangles prédécoupés ont une longueur de 123 millimètres (et une largeur de 100 millimètres évidemment !).

Et voilà les questions :

1. Combien de lignes de prédécoupage y a-t-il sur un rouleau ?

2. Quelle est la quantité de papier utilisée pour fabriquer un rouleau ? (On donnera le résultat sous la forme d'une aire en millimètres carrés.)

NB : Pour obtenir le même résultat que moi, étant donné d'une part que les mesures sont expérimentales et d'autre part qu'il est difficile de savoir si le nombre de tours est entier, on veillera à approximer à l'entier supérieur le nombre de rectangles dans un rouleau. Par ailleurs, on ne tiendra pas compte du fait que le papier est souvent collé sur le tube en carton.

Question subsidiaire :



Pourquoi cette image ?

Bonne réflexion.

minkus

bonjour,
ce n'est pas une réponse mais je viens de lire une pub pour "la vie en rose"aux éditions 'clair de lune'
oeuvre d'un nordiste qui s'est penché sur la condition du papier toilette c'est une BD qui nous fait découvrir l'autre face du rouleau

Bonjour,

Le rayon du rouleau fait 55 mm.
Sans le tube en carton, cela fait 35 mm.
Un couche faisant 0,5 mm, il y a donc 70 couches.
La première couche a une circonférence de 110.
La deuxième couche a une circonférence de 109.
La troisième couche a une circonférence de 108.
...
La 70ème couche a une circonférence de 41.

La longueur totale vaut (110+109+108+...+41) = 5285
Le tout divisé par 123: ça nous fait un total de 135 feuilles (arrondi).

Il y a donc 134 lignes de prédécoupage.
_{(j'imagine que l'on ne considère pas que la première feuille est parfois attachée à la couche inférieure)}

Pour la quantité de papier, on a 135*123*100*3 = 4981500 mm².


Question subsidiaire: il s'agit du film: "Les vécés étaient fermés de l'intérieur" avec Coluche et Jean Rochefort.



Merci pour cette énigme.

Bonjour Minkus, belle énigme!

1) le papier de carton est de diametre 40mm ==> la première tranche du papier enroulé aura un diamètre D₀=40.5mm ==> D₁=40.5+0.5=50mm d'une manière générale D_n=D_n-1+0.5 ==> D_n=D0+n x 0.5 ==> D_n=40.5+n x 0.5 la dernière tranche a un  diametre de 110mm ==> 110 = 40.5+n x 0.5 ==> n=139, la longueur d'une tranche est de .D_n donc la longueur total sera L = _n=0-->139.D_n = ._n=0-->139D_n = .140.(40.5+110)/2 = 33096.6786 mm, ainsi le nbre de papier près découpé sera L/123 ~269.07 arrondi à l'entier le plus grand ca donne 270 papier prédécoupés.
2) un papier prédécoupé aura une surface de 100x123 = 12300mm² ==> la quantité du papier total sera donc 12300 x 270 = 3321000 m² de papier triple epaisseur.

_{si ce que demande l'énoncée est la somme des 3 surfaces constituant le papier triple on multipliera par 3 pour obtenir 3321000 x 3 = 9963000 mm² de papier "simple"}

merci pour l'énigme .

Je viens de m'apercevoir que j'ai pas bien lu la première question, je rectifie ma réponse: pour 270 papiers découpés on aura 269 ligne de découpages.

On trouve facilement que le nombre de tours est égal à 35.
En utilisant les progressions arithmétiques, on trouve que la longueurs du papier est égal à 16603,317 mm, soit 134,98 rectangles approximés à 135.
Il y a donc 134 lignes de prédécoupage.
La quantité de papier (hors carton) à 100 mm de large est égal à 1 660 332 mm² (arrondi au mm² supérieur)

QS : "Les WC étaient fermés de l'intérieur" Film avec Coluche. ..

Bonjour minkus et merci pour cette énigme qui nécessite une réflexion solitaire.

En écrivant l'égalité du volume de papier enroulé (différence des volumes de deux cylindres) puis déroulé  (matelas rectangulaire très mince), j'obtiens la longueur totale de la feuille: 16493,36143mm.  

Je peux répondre tout de suite à la question 2:

La surface du papier utilisé est de 1 649 336 millimètres carrés (un peu moins de 2 mètres carrés)

Cela fait à peine plus de 134 rectangles de papier (134,09). On me demande d'arrondir à l'entier supérieur; j'optempère et je considère donc qu'il y a 135 rectangles, ce qui fait

134 lignes de prédécoupage.

Il eût été plus raisonnable d'arrondir à 134 le nombre de rectangles, ce qui aurait fait:

133 lignes de prédécoupage.


Si l'on fait cet arrondi à 135 du nombre de rectangles, on n'obtient bien sûr pas, pour la surface totale la même réponse que celle que j'ai donnée. Comme cet arrondi me paraît suspect, je maintiens ma réponse.

La surface en mm2, de la tranche du rouleau est égale à pi(110^2-40^2)/4=8246,68. L'épaisseur étant de 0,5 mm, cela correspond à une longueur de 16493 mm, soit en arrondissant au nombre supérieur 135 feuilles, donc 134 lignes de prédécoupe. La longueur correspondante est alors 135*123=16605 mm, et la surface 1660500 mm2.
L'image doit correspondre au film "Les WC étaient fermés de l'intérieur" aevc Coluche et Jean Rochefort, et un scénario de Gotlib

Question subsidiaire: les vécés étaient fermés de l'intérieur...

rebonjour Minkus

<-------<---40----->--35---->
épaisseur de parpier 35mm=> 35/0,5=70 couches
1ière couche:cylindre de rayon r₁=20 mm
2ième couche:cylindre de rayon r₂=20 mm+1/2 mm
......................................................
kième couche:cylindre de rayon r_k=20 mm+(k-1)/2 mm

donc la dernière couche est un cylindre de rayon 20 mm+69/2 mm
d'où la longueur L du rouleau:
L=2en mm
L=35149=16383,40mm

nombre de feuilles N=E(L/123)+1=133+1=134 par excés sauf erreur de calcul de ma part
ce qui fait 133 prédécoupages (non découpés)
2)quantité de papier:16383,40x100=163,834mm² soit 164mm² par excés
si l'on considère qu'il y a 134 feuilles cela fait 164,82 mm² soit 165mm² par excés

Bienvenue amis cinéphiles et écologiques

Jean Rochefort (Commissaire Pichard) et Coluche (Inspecteur Charbonnier) dans
Les vécés étaient fermés de l'intérieur
réalisé par Patrice Leconte et sorti sur les écrans en 1976
(Je remercie Wikipedia pour son aide précieuse et encourage tout un chacun à soutenir ce projet grandiose par sa dimension humaine et participative, quoiqu'en disent les détracteurs allergiques aux idées de partage).


133 coupures et environ 1 649 336 mm², soit environ 165 m².

Pour être vraiment écologique, il va falloir revenir aux pratiques ancestrales. Prévoir de ne plus manger que de la main droite, la gauche étant réservée à cet autre usage que nous dicte la préservation des dernières forêts.

Nous modélisons le rouleau de papier par une spirale d'Archimède d'équation polaire

avec
La longueur de cette spirale en fonction de est donnée par l'intégrale :

ce qui s'intègre sans problème et donne

On calcule la valeur de lorsque , avec

Ce qui nous permet d'obtenir la longueur de papier utilisé en posant

On obtient

La surface de papier est
où h=100
Le nombre de feuilles utilisées est
, où
Le nombre de coupures est

Plutot que de s'emm... à calculer la longueur du papier présent sur le rouleau (papier qui doit avoir la forme d'une spirale) il parait plus simple de travailler sur le volume d'une feuille (qui elle est parallèlepipédique de dimensions 123, 100 et 0.5 mm)

On peut encore simplifier en travaillant en deux dimensions en négligeant la largeur de la feuille qui n'interviendra pas dans les calculs

En regardant le rouleau par la base on a un cercle de 110 mm de diamètre percé d'un autre cercle de 40 mm de diamètre. Chaque feuille de papier est vue par la tranche sous forme d'un "rectangle" de 123 mm par 0.5 mm, rectangle qui est "courbé, (on suppose que la surface de la tranche est conservée quand la feuille est roulée)

La surface totale de papier visible a pour mesure (110²*/4)-(40²*/4)=7382,7427 mm²

Une feuille de papier a une suface "latérale" de 123*0.5 =61.5 mm²

Le rouleau comporte alors 7382.74/61.5=120.04 feuilles que l'on arrondira à 120 feuilles

Il y a donc 119 lignes de prédécoupages (pour prédécouper 120 feuilles, pb d'intervalles) ou le triple soit 357 (vu que c'est du triple épaisseur)

La surface de papier sera alors de 120*100*123=1476000 mm² (soit 1,47 m² environ)

Pour la question subsidiaire il me semble reconnaitre l'affiche du film 'Les vécés étaient fermés de l'intérieur',  film français réalisé par Patrice Leconte et sorti sur les écrans en 1976

Salut Minkus.
En arrondissant à l'entier supérieur, je trouve qu'il y a 541 feuilles de papier dans un rouleau, ce qui nous donne une aire de 6654300 mm².
@+ et merci pour l'énigme.

Bonjour,

En considérant que la face intérieure du papier n'est pas déformée quand on l'enroule et que le changement de diamètre à chaque tour n'engendre pas de longueur supplémentaire, je trouve une longueur de 16383.4 mm soit 133.2 x 123 mmm arrondis à 134 feuilles rectangulaires de 123 x 100 mmm.

1. Il y a 133 de lignes de prédécoupage sur un rouleau.

2. La quantité de papier de triple épaisseur utilisée pour fabriquer un rouleau est de 1648200 mm² ce qui donne 4944600 mm² de papier simple épaisseur

Question subsidiaire : "Les Vécés étaient fermés de l'intérieur" de Patrice Leconte.
Jean Rochefort et Coluche interprètent
Pichard et son adjoint Charbonnier dans le film,
plus connus sous les noms de Bougret et Charolles
sous l'encre de Chine de Marcel Gotlib.


Merci et A+, KiKo21.

P.S. Minkus, je l'ai fait dans le même esprit que toi, aux toilettes !!

re-rebonjour
je crois qu j'ai bêtement fait une division à la place d'une multiplication suis je bête et étourdie!

Salut minkus

(Dans tout l'exo: )

Volume total du papier: volume de toute la place occupee moins volume de la place du carton, soit:

Un feuillet de papier est un pave de dimensions (en mm) , soit par feuillet (quel mot doux ce
feuillet!)

Le nombre de feuillets est donc: si ma calculatrice ne ment pas, arrondi au superieur ca fait 135 feuillets par rouleau
D'apres le theoreme des intervalles d'un segment, au cas particulier des extremites ouvertes, il y a 134 lignes de predecoupages sur le rouleau

L'aire d'un feuillet est
L'aire d'un rouleau de 135 feuillets est donc: , soit environ 1.6m^2, ce qui est suffisant pour tresser un tapis

Merci pour l'enigme et a bientot

Bonsoir Minkus,

Chaque tour de rouleau mesure (39+n) mm.
Après chaque tour le diamètre du rouleau augmente de 1mm.
Le diamètre de 110mm sera atteint après le 109ème tour.
La longueur totale des feuilles sera donc de 16383,4057mm.
Ce qui représente 133,1984 feuilles que j'arrondi à l'entier supérieur = 134 feuilles.

Donc, en réponse au point 1, il y a 133 lignes de découpage.

Pour le point 2, je trouve une aire de 134*123*100 = 1648200 mm².

Pour la question subsidiaire, ne s'agit-il pas du film "Les WC étaient fermés de l'intérieur" ?

bonjour
il y a cent trente-quatre (134) lignes de découpage
l'aire est 1 660 500 millimètres carrés

aire de la surface latérale : (55²-20²)*pi = 2650 pi mm²
longueur du rouleau : 2650 pi / 0,5 = 5250 pi mm
nombre de feuilles : 5250 pi / 123 = 134,092; arrondi à l'entier supérieur : 135
il y a une ligne de découpage de moins que de feuilles

aire : 123 * 100 * 135 = 1660500

j'espère que bien qu'il s'agisse d'un papier triple épaisseur qu'il ne faille pas multiplier les réponses par trois !

Volume du papier enroulé sur le carton
v=(55²-20²)**100mm^3
volume des n feuilles
v=n*100*123*0,5
n=(55²-20²)**100mm^3/(100*123*0,5)134,09
donc on obtient 134 feuilles  de 123 cm de longueur et une feuille plus courte
par suite le nombre de ligne de prédécoupage est de 134;
aire de papier
(55²-20²)**100mm^3/0,5=525000mm²

salut

longueur du rouleau: 2*PI*(40+40,5+41+...+109,5+110)
=PI*150*71

nombre de papiers: PI*150*71/123=273 arrondi supérieur

aire: PI*150*71*100=3 345 796 mm^2 arrondi

N.B. on aurait pu calculer le volume de papier, ca aurait été plus réaliste

Bon, je fais un essai, mais je ne suis pas du tout sûr que j'ai le
droit de faire ce que je dis...


Si on passe dans FlatLand, un monde imaginaire en 2D,
on voit le rouleau comme un disque de 110 mm de diamètre
et un trou de 40 mm de diamètre en son centre.
La surface de ce disque est donc de :
millimètres carrés

Dans FlatLand, une feuille de PQ n'est qu'une bande de papier de 123 mm de long
et 0.5 mm de large. Elle a donc une surface de 61.5 mm carrés.

Le nombre de feuilles du rouleau en arrondissant à l'entier supérieur est donc de : 135.

Question 1 : Il y a lignes de prédécoupage sur un rouleau triple épaisseur.

Question 2 :

Salut,

alors on a 70 tours de papiers sur le rouleau, ce qui représente 9,013m environ.
D'où 74 feuilles de papier.
en ne comptant ni le début du papier ni la fin, celà fait 73 découpages

soit 901322,93mm²
donc si on arrondit à la feuille près: 910200mm²

Bonjour,

Volume de papier sur le rouleau en mm3 : 100 x Π (552-202) = 262500 Π
Volume d'une feuille en mm3 : 0,5 x 100 x 123 = 6150
Nombre de feuilles dans le rouleau : 262500 Π / 6150 = env. 134,09

On va donc considérer 135 feuilles de 100mm x 123mm, ce qui fait :

1.   134 lignes de prédécoupage.
2.   1 660 500 mm2 de papier.


Question subsidiaire : Les Vécés étaient fermés de l'intérieur.

Et pour continuer sur développement durable :

Bonjour,

1) 134 lignes de prédécoupage (en majorant le nombre de rectangles).

2) Si on suppose les 135 rectangles de mêmes dimensions, la quantité de papier utilisée a une aire de:
135*123*100 = 1 660 500 mm²


_{En espérant avoir bien interprété l'énoncé.}

A+,
gloubi

Pour la subsidiaire, évidemment: "Les vécés étaient fermés de l'intérieur".

A+
Torio

Hum...
Je pense que la longueur totale du rouleau doit être d'environ 22528mm, ce qui donne 183.1 feuilles. En arrondissant on arrive à 184. Donc 183 lignes de prédécoupage. Et 184*100*123=2263200 l'aire totale de papier est donc de 2263200mm².

Bonjour,

1. Il y aurait lignes de prédoupage sur un rouleau;

2. L'aire totale de papier utilisé pour un rouleau serait
   de .

Question subsidiaire: l'image présentée ne m'inspire aucune réponse.

1) la longueur du papier est de 16 493 mm.
Il y a donc 134,09 rectangles soit arrondi à l'entier supérieur  135 rectangles donc 134 lignes de prédécoupage

2) sur la base de 135 rectangles la surface totale du papier est 1 660 500 mm²

La base du cylindre creux que représente le papier est

En divisant par l'épaisseur de papier, on obtient la longueur et donc rectangles prédécoupés.

En approximant à l'entier supérieur le nombre de rectangles dans un rouleau, il y a donc 135 rectangles dans un rouleau.

Question 1: Il y a 134 lignes de prédécoupage sur un rouleau.
Question 2: La quantité de papier est 1.826.550 mm2
Question subsidiaire: Il s'agit d'une portion de l'affiche du film "Les Vécés étaient fermés de l'intérieur".

Bonjour,

Il y a 135 feuilles (en arrondissant au dessus) donc il y a 134 lignes de prédécoupage (j'ai vérifié, le rouleau commence et se termine pas une coupe franche et pas par une ligne de prédécoupage, donc ne pas compter nb de feuilles+1 mais nb de feuilles-1).

Soit R le rayon ext (55mm), r le rayon du tube (40mm), on a la surface de papier (vue de côté) S=*(R²-r²). On a aussi S=L*e avec L la longueur totale de papier enroulé et e l'épaisseur du papier.
Donc .
On a donc 135 feuilles des 123mm dans le rouleau => 134 lignes de prédécoupage.

La surface de papier utilisée est 135*123*100 = 1 660 500 mm².

L'image représente le film "Les Vécés étaient fermés de l'intérieur" avec Jean-Rochefort et Coluche.

Je viens de commencer un nouveau rouleau et sur celui-là on voit bien que ça commence par une ligne de prédécoupage ... mince, si ça tombe c'était bien 2 lignes de plus la réponse ... tant pis

Soit p(0) le périmètre autour du carton...
p(0)= 2*40
Après 1 tour de papier, le rayon a augmenté de 0.5 mm et donc le diamètre a augmenté de 1
donc p(1) = 2*41
Après n tours de papier on a
p(n) = (40+n)
Et on sait que le dernier périmètre est *110
Autrement dit n = 70
On a donc 70 tours de papier autour du rouleau...

p(n) est une suite arithmétique donc on peut faire la somme des ses termes jusqu'à 70
S = 0.5*( p(0) + p(70) )*70
S = (2*40 + 2*110)*35
S = 10430

Donc la longueur de papier d'un rouleau est de 10430 mm Soit environ 32766.8 mm

La longueur d'un morceau prédécoupé est de 123 mm

Donc le nombre N de rectangles prédécoupés est N = S/123
N 84.79 266.8
On arrondit à l'entier supérieur : cela fait 267 rectangles !

L'aire de papier se calcule avec la longueur (10430 mm) et la largeur (100 mm)
A = 10430*100
A = 1043000 3276681 mm²  !

Question subsidiaire = Il y a eu un meurtre : quelqu'un a été étranglé avec du papier toilette ultra résistant ... dans les toilettes...
SH et son comparse Watson vont devoir mener l'enquête !

Bonsoir,

1°) Réponse: 134 lignes.
Le volume du cylindre est égal à (55² pi fois 100) millimètres cube. (Je m'excuse d'écrire pi comme cela.)
Celui du petit cylindre (en carton) est égal à (400 pi fois 100) millimètres cube.
Un rouleau est donc composé de 262500 pi millimètres cube de papier.
Un rectangle est composé de 6150 millimètres cube de papier.
Il y a donc environ 135 rectangles de papier dans un rouleau, et par conséquent 134 lignes de prédécoupage.

2°) Réponse:
Un rectangle a pour aire 12300 mm², et comme il y a 135 rectangles dans un rouleau, il y a 1660500 mm² de papier.

Je ne sais pas du tout quoi répondre à la question subsidiaire!

Merci beaucoup pour cette énigme.

Fredd

Bonjour,

110mm-40mm=70mm , avec une épaisseur de 0.5mm donne 140tours de papier.

Il y a 267 lignes de prédécoupage donc 268 lignes dans le rouleau.

Quantité de papier utilisé : 268x123x100= 3296400mm².  

hello
nombre de tour de papier est110-40)/2=35 tour
1 tour:2*pi*r
2 tour:2*pi*(r+0,5)
3 tour:2*pi*(r+0,5+0,5)
somme n tourn*2*pi)+n*r+0,25*n(n-1)
n=35 et r=20  soit  70pi+20*35+8,75*35*34=219,8+700+10412,5= 11332 mm
quantité de papier 11332*100=1133200 mm2
nb de rectangle  11332:123=92 rectangles

Bonjour à tous!

Voici ce que je trouve :

1) 132 lignes de prédécoupage.
2) 1525200 mm²

note : En sachant que j'ai trouvé 133,05 rectangles, et que j'ai compté comme si le papier était arrangé en cercles concetriques,
j'aurai eu tendance à arrondir en dessous mais bon...trop tard...

n= (110²x -40² x )/123 = 536,4
il y a 537 morceaux de papier rectangle dans le rouleau,donc 538 découpage en comptant les deux extrémités du rouleaux, ou 536 sans compter les deux extrémité.
Il faut donc 536,4 x 123 x 100 = 6597720 mm² de papier d'épaisseur 0,5 mm

à mon avis:

sur le rouleau, 135 feuilles de papier, soit 136 lignes de prédécoupage.

Quantité de papier utilisée: 1660500 mm² de papier.

1- 64 lignes de prédécoupage sur un rouleau.

2- 787200 millimètres carrés

Bonjour,
- 537  lignes de prédécoupage
- la quantité de papier utilisée pour fabriquer un rouleau(aire en millimètres carrés):
  6.594.000 millimètres carrés
Merçi por l'énigme.

Bonjour,

Si mes calculs sont exacts, la longueur totale de papier sur le rouleau est d'environ 10 320 mm soit 84 feuilles prédécoupées.
Ce qui donne 83 lignes de prédécoupage et une surface totale de 1 032 013 mm² en prenant la longueur exacte calculée.

challenge en cours

moi je ny arrive pas et je sais pas vous mais j'ai rien compri!!!!!en meme temps je suis très nul en maths j'ai 9,8

Il y a 193 lignes de predecoupage si l'on ne compte pas la premiere et la derniere feuille qui sont deja decoupee sur un cote.


l'aire est de 2397010 millimetres carres.

Salut,

J'avoue avoir du mal à comprendre qu'il n'y ait qu'une seule bonne réponse alors je vous donne ma solution rapide.

Mise en place d'une suite avec U₁=40 et donc U₇₀= 109.

>lo5707 : pas 110 puique le diamètre mesure 110 mm après le dernier tour.

Longueur totale 5215. Je divise par 123 et je trouve environ 133,2 arrondi à 134.

Il y a donc 133 lignes.

Pour l'aire je calcule 134*123*100*3car c'est du triple épaisseur.

Je trouve alors, comme kiko21, 4 944 600 mm².

A noter que j'aurais accepté un résultat utilisant la valeur exacte 5215.

minkus

Bonjour Minkus

citation :
Mise en place d'une suite avec U1=40 et donc U70= 109.

je comprends pas pourquoi vous calculez U70 alors qu'on a plutot besoin de calculer U140.
le grands diametre est de 110, le petit est de 40 on a donc une epaisseur totale de 70mm, or l'epaisseur du papier est de 0.5mm ==> on a 140 tours en total,

le premier enroulement aura un diametre 40.5mm (car il est en dessus du carton) donc la circonference du 1er cercle sera egale U1=40.5, la dernière circonférence sera U140= 110 , la somme de ces 140 termes donne une longueur totale du rouleau de (110+40.5) *140/2 =  33 096.67 soit 269.07 ==> 270 papiers prédécoupés c.a.d 269 ligne de découpages.
la quantité du rouleau sera donc 123*100*270=3321000 mm²

quelqu'un peut-il me préciser ou je me trompe svp

master_och >> si je ne me trompe pas, l'épaisseur de 70 mm est calculée sur le diamètre, et donc de 35mm sur le rayon.