Facile, et sans le produit scalaire (enfin, presque sans lui) :
P est sur le cercle de diamètre [AB], donc les droites (BP) et (AP) sont perpendiculaires.
Ainsi on a

En effet, car P est le projeté orthogonal de B sur (AM), se rappeler que le produit scalaire est aussi égal au produit des longueurs algébriques quand une des extrémités est le projeté orthogonal sur l'autre droite.
De la même manière

On fait la somme des deux et on obtient l'égalité recherchée

Bonjour,
la clé reside dans le fait que P et Q sont deux points du demi-cercle de diametre [AB], donc APB et ABQ sont deux triangles rectangles, respectivement en P et en Q.
Donc, en vecteurs: AP.BP = AM.BP = AQ.BQ = AQ.BM = 0.

Donc, en vecteurs:
AP.AM + BQ.BM = (AB+BP).AM + BQ.BM
= AB.AM +BP.AM + BQ.BM
= AB.AM +0 + BQ.BM      avec ce qui précède
= AB.(AB+BM) + BQ.BM
= AB.AB +AB.BM + BQ.BM
= AB² +(AB+BQ).BM
= AB² +AQ.BM
= AB²       avec ce qui précède

Voilà,
padawan.

Salut Padawan.
Ta solution est correcte, elle a l'avantage d'être très calculatoire. Les élèves un peu paumés seront faussement rassurés.
Quelque part, je privilégie pourtant la mienne qui a l'avantage d'apporter une petite touche de fantaisie qui lui donne un coté magique.
Et puis, elle ne sert pas la solution clef en main et demande un peu de recherche personnelle, ce qui, à mon humble avis, ne peut être que profitable.

Si c'est un peu dur à suivre pour stev, je détaille le calcul

J'exprime l'orthogonalité des droites (AP) et (BP)



Maintenant je développe le premier produit scalaire


Je fais la même chose de l'autre coté du demi-cercle pour obtenir



Et maintenant, je fais la somme de

et de

en jouant sur le signe des vecteurs



Bonne chance et bon courage