Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 205 : C'est épatant !

Salut !

J'ai choisi un nombre entier positif N inférieur ou égal à 100.

J'ai ensuite choisi un certain nombre S d'entiers consécutifs immédiatement supérieurs à N : N+1, N+2, .... , N+S.

J'ai alors choisi un certain nombre R d'entiers consécutifs immédiatement inférieurs à N : N-1, N-2, .... , N-R.

Enfin, j'ai calculé le produit P₁ des S entiers supérieurs à N et le produit P₂ des R entiers inférieurs à N.

1. Sachant que P₁=P₂, sauriez-vous, tel un magicien, deviner le nombre N ?

2. Y a-t-il plusieurs solutions ?

En parlant de magicien :



Bonne réflexion.

minkus

Il y a une solution pour N et S et deux solutions pour R :
N=7, S=3 avec R=5 ou R=6 (produit=720)

salut

En effet, on a 2*3*4*5*6 = 720 = 8*9*10 = (2*2*2)*(3*3)*(2*5)
= 2*3*(2*2)*5*(2*3)

Pour la deuxième question, ça dépend de la signification de "N est un entier positif".
Si on considère que 0 n'est pas un entier positif, alors 7 est la seule solution pour N <= 100.

Sinon, on peut prendre N = 0 et on trouve alors une infinité de solutions en choisissant R = S et R pair.

-1*-2 = 1*2
-1*-2*-3*-4 = 1*2*3*4
...


Comme je suis fainéant, je n'ai pas essayé de faire la démo mathématique de l'unicité du 7.
J'ai écrit le programme suivant (en espérant que c'est autorisé) :

        for (long n=4; n<=100; n++) {
            BigInteger p2 = BigInteger.valueOf(n - 1);
            for (long r=2; r<=n-2; r++) {
                p2 = p2.multiply(BigInteger.valueOf(n - r));
                long s = 1;
                BigInteger p1 = new BigInteger("" + (n + s));
                while (p1.compareTo(p2) < 1) {
                    if (p1.equals(p2)) {
                        System.out.println("(" + n + "-" + r
                                + ")...(" + n + "-1) = " + p1.toString()
                                + " (" + n + "+1)..." + "("
                                + n + "+" + s + ")");                            
                    }
                    s++;
                    p1 = p1.multiply(BigInteger.valueOf(n + s));
                }}}

Bonjour Minkus

Sauf grosse bêtise : . Là on a deux couples possibles pour R et S : et .
En effet,



1) N=7
2) Pas d'autres solutions pour N.


A+

Bonjour,

Zéro étant à la fois positif et négatif, et l'intitulé de la question ne précisant pas "N strictement positif", je propose :

Réponse 1 : N = 0

Réponse 2 : oui il y a plusieurs solutions

par exemple :

    (-1)*(-2) = 1*2

    (-1)*(-2)*(-3)*(-4) = 1*2*3*4

bonsoir,
aujourd'hui je vais essayer de ne pas écrire trop de sottises

*j'ai trouvé N=7 avec
P₁=8.9.10=720     S=3
P₂=2.3.4.5.6=720  R=5
j'ai remarqué:
qu'aucun des facteurs N+1,N+2,....N+S ne peut être premier car tout diviseur de P₁divisant P₂ P₂admettrait un diviseur premier>N
les nombres N+1,N+2,......N+S sont donc situés entre deux nombres premiers consécutifs

si l'un des nombres N-1,N-2,.....N-R est premier P₁est divisible par ce nombre ...

P₁>N^S et P₂<N^R=>N^S<P₁<N^R
on en déduit queS<R

ces remarques m'ont permis de trouver que N=7 est solution
et je n'ai pas trouvé d'autres solutions parmi les 100 premiers entiers

merci pour cette énigme

1. N = 7 car 8*9*10 = 6*5*4*3*2
2. Il n'y a pas d'autre solution.

En complément, si N est strictement positif, et inférieur à 100, il n'y a qu'une seule solution :

N = 7

puisque 2*3*4*5*6 = 8*9*10 = 720

Bonsoir Minkus! De plus en plus dur..
Ne trouvant pas de solution rusée, j'ai fait appel à Maple. N'importe quelle calculatrice programmable aurait d'ailleurs fait l'affaire car le programme est très simple. Il faut seulement veiller à ne pas manipuler des nombres trop grands et à regrouper les cas.

Je trouve donc que

la seule valeur possible pour N est 7 .

Les entiers supérieurs à 7 à utiliser sont 8,9,10, dont le produit est 720.

Les entiers inférieurs à 7 à utiliser sont 6,5,4,3,2 dont le produit est 720.

Bonjour,

En choisissant N=0, S pair et R=S, on a forcément P1=P2 et une infinité de solutions.

Avec N strictement positif < 100 (je suppose que c'était sous-entendu, je ne sais jamais si 0 peut être considéré comme positif), il ne faut pas qu'il y ait de nombre premier entre N+1 et N+S (puisque le produit P1 ne pourrait être divisible par aucun nombre < N), ce qui laisse très peu de cas à étudier.

Je trouve N=7 et 2 solutions :

- 2x3x4x5x6 = 8x9x10 = 720
- 1x2x3x4x5x6 = 8x9x10 = 720

Bonjour ! alors

11

12+13+14+15 = 54

10+9+8+7+6+5+4+3+2 = 54

je ne sais pas si il y a d'autre solution il est tard et j'irai pas plus loin j'ai que 13 ans : p dite moa au moin si mon idée est bonne

Bonne journée !!!

Une seule solution pour N :     N = 7

(mais deux pour les séries choisies)
1*2*3*4*5*6 = 720   ou bien  2*3*4*5*6 = 720

et
8*9*10 = 720

A+
Torio

Bonjour Minkus

1- le nbre N "ne peut être "que N=7 avec S=3 et R=5 (ou R=6) ce qui donne 8x9x10 = 6x5x4x3x2.

2- Il n'existe aucune autre solution.

merci pour l'énigme .

Bonjour,

1) N=7

2) Il n'y a qu'une solution _{( c'est mon intime conviction )}

A+,
gloubi

Bonjour,

1. Le nombre N est
2. Je ne pense pas qu'il y ait plusieurs solutions.

Merci et A+, KiKo21.

Bonjour,
une seule solution
2*3*4*5*6=8*9*10=720

Pour limiter la recherche, on peut remarquer que s'il y a dans le produit de droite un nombre premier, il est > N, alors la décomposition de celui de gauche doit le contenir aussi, ce qui est impossible puisque tous les termes sont inférieurs à N.

Remarquons que S<R et que P2/P1 est alors une fonction croissante de N, rapidement supérieure à 1. L'égalité est impossible s'il y a un nombre premier parmi N+1,...N+S; or, il n'existe pas de séquence de nombres non premiers de longueur supérieure à 5 parmi les nombres inférieurs à 80 (7 pour les nombres inférieurs à 100, mais pour N>80 et S=6 ou 7 donc R>=7 ou 8, P2/P1>1), ce qui limite la recherche à S<=5
Avec ces observations, on constate que la seule possibilité est  S=3, avec N=7 et R=5 ou 6: P1=P2=720. Est-ce là une ou deux solutions?

une seule solution : N=7

n=7
r=6
s=3
6! = 720
8*9*10 = 720

1 seule solution

Bonjour

Je trouve N=7, avec S=3 et R=5.
On a bien: 8*9*10 = 6*5*4*3*2 = 720

Je ne trouve que cette solution. _{(je n'ai pas cherché au delà de R=18...)}
Si bien sûr la question se rapporte à N, sinon, il y a la solution N=7; S=3; R=6.


Merci pour cette énigme.

Bonsoir Minkus,

Je crois pouvoir faire mieux que deviner et affirmer que le nombre N vaut 7.
Et il s'agit de la seule solution à l'énigme !

C'est en effet épatant...

Bonne nuit:

Euh:

1) tel un magicien, (^^"), je dirai que N=0.

2)Cherchons d'autres solutions possibles:

N est entier positif inférieur ou égal à 100:

et pour tout N<R avec R un entier positif:
il existe N-i=0 avec i entier positif inférieur à  R

Donc, pour tout N entier entre 1 et R: (N-1)(N-2)...(N-R)=0

or (N+1)(N+2)...(N+S) est non nul, donc N est compris entre R et 100.

or quel que soit N entre R et100:

(N-1)(N-2)...(N-R)<(N+1)(N+2)...(N+S)

Donc la solution de départ est unique: N=0


NB:

L'image est-elle une allusion à cette réponse ou est-ce que j'ai un poisson?

bon je me lance (?) j'ai une idée !!

PROP1: entre 0 et 107 l'écart maximal entre deux nombres premiers consécutifs est 6.

DEM: faites le crible

PROP2: r < n

DEM: si r > n alors P2=0 et P1>0 par définition de P1

PROP3: P1 et P2 sont strictement positifs

DEM: utiliser la PROP2 et la définition de P1 et P2

LEM1:

désolé mais regardez la suite je reprends

je ne vois qu´une seule solution: 0

PROP1: entre 0 et 107 l'écart maximal entre deux nombres premiers consécutifs est 6.

DEM: faites le crible

PROP2: r < n

DEM: si r >= n alors P2=0 et P1>0 par définition de P1

PROP3: P1 et P2 sont strictement positifs

DEM: utiliser la PROP2 et la définition de P1 et P2

On note p le premier nombre premier supérieur strctement à n

LEM1: s<6

DEM: si s>=6 alors d'après la PROP1 p est facteur de P1 et pas de P2 donc P1<>P2 pour des raisons de divisibilité

LEM2: s+1=<r<n

DEM: si r=<s alors puisque les facteurs de P2 sont strictement inférieurs à ceux de P1 on a P2<P1 donc P1<>P2

LEM3: s>=2 (ie P1 contient au moins 2 facteurs)

DEM: si s=1 alors P1=n+1 alors P2 n'existe pas d'après sa définition car pour tout n : n+1 <> (n-1)(n-2)...(n-r)

LEM4: si P2 contient un nombre premier q (<>2) alors P1 doit contenir au moins son double soit 2q
(et <>2 car un nombre sur 2 est pair)

DEM: pour des raisons de divisibilité P1 et P2 possèdent dans leur décomposition en nombres premiers les mêmes nombres premiers et à la même puissance

LEM5: pour n=<10 il n'y a pas de solution

DEM: à vérifier (j'espère quej'ai raison!!) enfin d'après la fréquence de nombres premiers inférieurs à 10 j'en suis presque sur?!?!

LEM6: si n n'est pas premier alors s<2

DEM: si s>=2 alors d'après le LEM2 r>=3 donc P1=(n+1)(n+2)...au moins et P2=(n-1)(n-2)(n-3)...au moins
avec n nom premier et la PROP1 on a forcément un nombre premier dans l'un des produits
soit c'est n+2 et le LEM1 nous permet de dire qu'il n'y a pas de solution
soit c'est n-3 donc d'après le LEM 4 il est aussi dans P1 sous la forme (au moins) 2(n-3)
et si n>10 alors 2(n-3)>14 et d'après le LEM3 et les nombres premiers 11 et 13 il n'y a pas de solution


DEM générale:
n=<10 : pas de solution

n>10 : si n'est n'est pas premier les LEM3 et LEM6 sont contradictoires donc il n'y a pas de solution

n>10 : si n est premier: P1=(n+1)(n+2)...au moins et P2= (n-1)(n-2)(n-3)... au moins
on vérifie qu'il n'y pas de solution
Donc on et obligé de rajouter un facteur au moins à P2 mais alors on peut utiliser ce qui a été fait pour n non premier

CONCLUSION: il n'y a pas de solution sauf la solution n=0 et r=-s et r pair et alors s!=(-r)! (factorielle)

car 0 est positif et inférieur à 100

Bon voila j'espère que je n'ai pas fait d'erreur et que vous prendrez en compte (à tord ou à raison) cette réponse (enfin surtout si c'est vrai) malgré les deux envois précédents qui sont dus à une erreur de frappe

je vous en remercie par avance

sinon peut-on faire ça sur Word (par exemple) et vous l'envoyer, ça éviterait ce genre de maladresse

Je tente:

J'avais trouvé manuellement N=7; S=3 et R=5(ou 6).


Un programme me pousse à penser que N=7 ets la seule solution (si N<=100)

juste pour dire que l'image était top! bravo a l'élève^^

Bonjour,

Je n'ai trouvé qu'un seul N remplissant ces conditions, à savoir N=7.
(Par contre on peut prendre R=5 ou R=6.)

Isis

1- N = 500

2- oui il y a plusieurs solutions

Bonjour !

Voici mes réponses :

1) N = 7 avec S = 3 et R = 5 (ou 6)

2) Non. Je ne pense pas,car un nombre premier ne peut apartenir au produit P1, or ils sont assez rapprochés avec des nombres si petits...

N = 7, S = 3 et R = 6

En effet, (7-1) * (7-2)*...(7-6) = (7+1) * (7+2)*(7+3) = 3628800


Cette solution est unique

Salut,

"7 épatant" en effet, étonnant non ?



minkus

Bonjour,

Ce qui est épatant, c'est que pour la question 2, deux réponses soient acceptées:
1. Il n'y a qu'une solution.
2. Il y a plusieurs solutions. voir ->

Combien y a-t-il de solutions finalement?

bonjour

juste deux questions :

1 - quand on dit positif, sans préciser, ça peut aussi être nul, non ? ( sinon, on dit strictement positif) ?

2 - minkus, aurais-tu alors accepté la réponse :
¤ N = 0
¤ P = R = 2k ( entier pair )

Oui Mika, regarde la réponse de garenne (voir mon lien ci-dessus)

ok, merci lo j"avais pas lu ton lien ( ni le reste des posts, d"ailleurs )

Salut,

Pour moi c'est la valeur de N qui était intéressante pour son unicité. Ensuite le fait que la neutralité multiplicative du 1 donne deux solutions importe peu...

Si j'ai accepté la réponse de garenne, c'est parce qu'il a fourni la réponse 7 environ 3 heures plus tard.

En revanche spencer, qui s'est contenté de 0, a eu un

ok, mais pourtant 0 est une réponse acceptable...

je le pense également

Salut,

sur le moment, et n'ayant pas beaucoup de temps, la réponse N=0 m'avait paru évidente (au vu de l'énoncé).
Un peu plus tard j'ai cherché une "vraie" solution (trois étoiles pour répondre N=0 me paraissait un peu léger).
Désolé d'avoir semé la zizanie .

comment démontrer vraiment l'unicité du 7 ?

J'ai pensé à partir des factorielles, mais ca ne m'a pas donné grand chose de convaicant !

à yoyodada:
je pense avoir montré l'unicité (voir ma solution), puisque je montre que s<=5, et que l'on peut calculer exhaustivement les possibiltés correspondantes.

effectivement, je n'avais pas lu ton message.
Merci