logo

Challenge n°46 (niveau première)

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » EnigmesTentez votre chance à l'énigme du jour pour gagner le concours mensuel... » 3 *les énigmes difficiles » [tout]lister tous les topics de mathématiques

3 *Challenge n°46 (niveau première)***

#msg82803 Posté le 22-11-04 à 07:55
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Bonjour tout le monde, voici l'énigme du jour...
Bonne chance à tous, clôture demain.

re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg82820 Posté le 22-11-04 à 10:19
Posté par Profilfranz franz

gagné \forall x \in {\mathbb R}, \; \sin \( \frac \pi 2 \cos x\) = \cos \( \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x\)
On cherche à résoudre

\; \cos \( \frac \pi 2 \sin x\) = \cos \( \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x\)
\Longleftrightarrow \; \{ \frac \pi 2 \sin x \eq \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x \;\; \[2\pi\]\ \;\; \rm{ou} \\ -\frac \pi 2 \sin x \eq \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x \;\; \[2\pi\]

\Longleftrightarrow \; \{ \cos x + \sin x \eq 1 \;\; \[4\] \ \;\; \rm{ou} \\ \cos x - \sin x \eq 1\;\; \[4\]

\Longleftrightarrow \; \{ \cos x + \sin x = 1 \ \;\; \rm{ou} \\ \cos x - \sin x = 1
\Longleftrightarrow \; \{ \sqrt 2 \( \cos x \cos \frac \pi 4 + \sin x \sin \frac \pi 4 \)= 1 \ \;\; \rm{ou} \\ \sqrt 2 \( \cos x \cos \frac \pi 4 - \sin x \sin \frac \pi 4 \)= 1
\Longleftrightarrow \; \{ \cos \(x - \frac \pi 4 \) = \cos \frac \pi 4 \;\; \rm{ou} \\ \cos \(x + \frac \pi 4 \) = \cos \frac \pi 4

\Longleftrightarrow \; \{ x - \frac \pi 4 \eq \frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]\;\; \rm{ou} \\ x - \frac \pi 4 \eq - \frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]\;\; \rm{ou} \\ x + \frac \pi 4 \eq \frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]\;\; \rm{ou} \\ x + \frac \pi 4 \eq -\frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]


\Longleftrightarrow \; \large \{ x = \frac \pi 2 + 2 k \pi \;\; \rm{ou} \\ x = 2 k \pi \;\; \rm{ou} \\ x = -\frac \pi 2 + 2 k \pi \;\; , \;\;\;\;k \in {\mathbb Z}


re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg82948 Posté le 22-11-04 à 18:13
Posté par Profilclemclem clemclem Posteur d'énigmes

perduS={2*k*\pi,\frac{\pi}{2}+k*\pi,\frac{-\pi}{2}+k*\pi} avec k
Voilà
A plus
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83269 Posté le 22-11-04 à 22:11
Posté par gilbert (invité)

gagnéLa fonction f(x)= sin (/2cos x)-cos(/2sin x)est 2périodique et paire.
L'intervalle d'étude peut être limité à [0,].

sin (/2cos x)=cos(/2sin x)
soit sin (/2cos x)=sin(/2-/2sin x)  (1)
soit sin (/2cos x)=sin(/2+/2sin x)  (2)
(1) donne cos(x-/4)=cos(/4)x=/2 sur [0,].
(2) donne cos(x+/4)=cos(/4)x=0 sur [0,].
Par symétrie liée à la parité de f(x), la valeur x=-/2 est également solution.

Donc en conclusion, les solutions sont :
x=0 (2) et
x=/2 ()
un bon niveaux premier deja...#msg83276 Posté le 22-11-04 à 22:15
Posté par ProfilKsilver Ksilver

gagnébonjour !

alors :

cos (pi/2 *sin x) peut s'ecrire sin (pi/2 - pi/2 * sin x)

donc

sin (pi/2*cos x) = sin ( pi/2 - pi/2 * sin x)

les arg etant dans les bons intervals on peu dire que :
pi/2*cos x = pi/2 - pi/2 * sin x     donc avec x compris entre 2kpi et 2kpi+pi, ou k est un entier relatif, comme sa sin x est positif et pi/2 -pi/2 * sin x depasse pas pi/2 donc on reste dans le bonne intervalle pour dire que :
pi/2*cos x = pi/2 - pi/2 * sin x
cos x = 1 - sin x
cos x + sin x = 1

et la les solution (que tous eleve de 1er connait par coeur... ou pas en fais) sont x= 2 K pi ou x = 2K pi + pi/2 avec K entier relatif evidement...

apres on fais le meme raisonement avec x compris entre 2Kpi + pi et 2(k+1) pi et sa rajoute un nouveaux groupe de solution, les 3pi/2 + 2Kpi (exactement le meme raisonement, en changeant un peu les signe et les coef)

sa fais que les solution sont 2kpi, 2kpi+pi/2 et 2 kpi +2pi/2 pour tous K entier relatif...

bon j'ai ete un peu rapide sur le raisonement mais l'essentiel y est...
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83292 Posté le 22-11-04 à 22:28
Posté par Profildad97 dad97 Correcteur

gagnéBonsoir,

sin(\frac{\pi}{2}cos(x))=cos(\frac{\pi}{2}sin(x))

<--> sin(\frac{\pi}{2}cos(x))=sin(\frac{\pi}{2}sin(x)+\frac{\pi}{2})

<--> \frac{\pi}{2}cos(x)=\frac{\pi}{2}(sin(x)+1)[2\pi] ou \frac{\pi}{2}cos(x)=\pi-\frac{\pi}{2}(sin(x)+1)[2\pi]

<--> cos(x)=sin(x)+1[4] ou cos(x)=1-sin(x)[4]

<--> cos(x)-sin(x)=1[4] ou cos(x)+sin(x)=1[4]

<--> \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x))=1[4] ou \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x))=1[4]

<--> \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})cos(x)-sin(\frac{\pi}{4})sin(x))=1[4] ou \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})cos(x)+sin(\frac{\pi}{4})sin(x))=1[4]

<--> \sqrt{2}cos(x+\frac{\pi}{4})=1[4] ou \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})=1[4]

<--> cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}] ou cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}]

or pout tout y réel, -1\le cos(y)\le 1

d'où cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}] ou cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}]

<--> cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} ou cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}

<--> cos(x+\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4}) ou cos(x-\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})

<--> x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}[2\pi] ou x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}[2\pi] ou x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}[2\pi] ou x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}[2\pi]

<--> x=0[2\pi] ou x=-\frac{\pi}{2}[2\pi] ou x=\frac{\pi}{2}[2\pi]

Conclusion :

S=2\pi\mathbb{Z}\cup({\frac{\pi}{2}}+\pi\mathbb{Z})

Salut
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83434 Posté le 23-11-04 à 11:45
Posté par juliannem (invité)

perduBonjour, alors ma réponse pour x est x =-Phy ou x = Phy
Cos (Phy/2 sin x ) = 0*sinx
Sin (phy/2 cos x)= cos x donc cos x = 0 x= Phy ou x= -Phy
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83600 Posté le 23-11-04 à 18:12
Posté par ketacola (invité)

perdux = 0
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83746 Posté le 23-11-04 à 20:39
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Merci à tous de votre participation, la ou plutot LES bonnes réponses étaient celle formulées très correctement par dad97 et franz.

A bientôt --> prochaine énigme ce soir.

Voici une correction détaillée de l'exercice :

?#msg83750 Posté le 23-11-04 à 20:48
Posté par ProfilKsilver Ksilver

gagnésauf erreur de ma part, les solution donné par gilbert et la mienne sont juste il me semble...
en fais#msg83752 Posté le 23-11-04 à 20:49
Posté par ProfilKsilver Ksilver

gagnénon la mienne est pas juste j'ai fais une faute de frape en l'ecrivant a la fin... (j'ai tapé 2pi/2 ou lieu du 3pi/2 qui aurait ete juste...)

mais celle qu'a mis gilbert est juste il me semble.
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83754 Posté le 23-11-04 à 20:50
Posté par gilbert (invité)

gagnéJe confirme !! Merci Ksilver..
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83759 Posté le 23-11-04 à 20:57
Posté par Profildad97 dad97 Correcteur

gagné pourquoi une telle poissonnerie

je pense que les solutions de Clemclem (même si il y a des doublets dans l'expression de la solution qu'il propose)

les solutions de Ksilver (mis à part dans sa conclusion où il y a un 2 qui s'est malheureusement collé mais la ligne au dessus prouve que c'est simplement une erreur de frappe)

les solutions de Gilbert (où tu aurais peut être préféré voir des crochets plutôt que des parenthèses pour signifier le modulo)

sont tout à fait recevable (j'ai pas regardé leurs raisonnements mais leurs résultast sont corrects)

Salut

re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83787 Posté le 23-11-04 à 21:21
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Alors, j'ai refusé la réponse de Gilbert pour la raison suivante :

J'attendais trois solutions, il ne m'en a donné que deux, donc sauf erreur de ma part il manque une solution...

J'ai refusé la réponse de clemclem pour la raison suivante :

Il donne comme réponse pi/2 + kpi alors que c'est pi/2 + 2kpi, idem pour l'autre... Sinon il avait bon pour la première solution étant : 2kpi.

J'ai refusé la réponse de Ksilver pour la raison suivante :

Je suis resté sur la conclusion principalement, je n'ai que survolé le développement, je n'avauis donc pas vu que tu avais fait une faute de frappe, ceci étant dis, je vais te mettre un smiley

Voila, j'espère avoir fait les bons choix cette fois-ci ?
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83793 Posté le 23-11-04 à 21:28
Posté par gilbert (invité)

gagnéJe suis désolé de contester .
Mes solutions sont bien x = 0  modulo 2 et x= /2 modulo
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83799 Posté le 23-11-04 à 21:32
Posté par Profildad97 dad97 Correcteur

gagnéeuh j'ai donné la même réponse que Gilbert

en effet on pouvait donner que deux réponses en rassemblant les cas (\frac{\pi}{2}+2k\pi ou -\frac{\pi}{2}+2k\pi) en \frac{\pi}{2}+k\pi

salut
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83802 Posté le 23-11-04 à 21:34
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

toutes mes excuses gilbert, je te mets de suite un smiley...
re : Challenge n°46 (niveau première)***#msg83812 Posté le 23-11-04 à 21:40
Posté par gilbert (invité)

gagnéMerci beaucoup puisea ;;;;

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 7
:)57,14 %42,86 %:(
4 3

Temps de réponse moyen : 16:51:26.

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » EnigmesTentez votre chance à l'énigme du jour pour gagner le concours mensuel... » 3 *les énigmes difficiles » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil   favoris  imprimer
maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2012