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Niveau Maths sup
Théorème de Transfert - Probabilités
Posté par donnie11
Bonjour.
J'ai un petit souci de compréhension sur le Théorème de Transfert en probabilité. J'ai du mal à voir comment on obtient la formule définissant l'espérance avec l'intégrale et à comprendre la notion de dérivé par rapport à P(X). Enfin est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer le lien entre loi, densité et fonction de répartition.
Merci d'avance!
Bonjour,
Pour commencer, excuse-moi, mais pourrais-tu donner ton énoncé du théorème de transfert ?
Pour le lien entre loi, densité et fonction de répartition...
Tout d'abord, ce qu'on appelle "loi d'une variable aléatoire", fondamentalement, c'est une mesure-image (la mesure image par une variable aléatoire X d'une mesure de probabilité P).
Il se trouve que, dans le cas d'une variable aléatoire réelle, une loi est entièrement déterminée par sa fonction de répartition :
.
Maintenant, on se restreint par exemple à un intervalle [a,b].
Quant à la densité, on dit que X est un v.a. à densité s'il existe une fonction mesurable positive f, d'intégrale 1 sur [a,b], telle que .
Autrement dit, la loi de proba de X est donnée par l'intégrale de f sur le borélien considéré.
Et alors, il vient le résultat fondamental suivant :
.
Donc la relation qu'il y a entre fonction de répartition et densité, c'est une relation de dérivation...
Bon, j'espère pas avoir dit de bêtises : je n'ai pas vraiment fait de proba cette année, mais juste de l'intégration de Lebesgue. Je ne garantis donc rien a priori 
(D'ailleurs si je demande ton énoncé du théorème de transfert, c'est surtout que je ne sais pas ce que c'est, et que je cherche à savoir si ça a un lien avec le lemme de transfert en théorie de la mesure...)
Bonjour
Je me permets d´apporter un petit correctif a ce que tu as dit, CC_ :
ne faut-il pas remplacer les a de ta formule par moins l´infini?
De plus, quand tu dis
Citation :
Donc la relation qu'il y a entre fonction de répartition et densité, c'est une relation de dérivation...
Donc la relation qu'il y a entre fonction de répartition et densité, c'est une relation de dérivation...
, certes, mais a condition que la fonction de répartition soit dérivable (ce qui n´est pas forcément le cas, il suffit par exemple que la densité ne soit pas continue)
Pour ce qui est du théoreme du transfert, je renvoie a ce que j´ai écrit dans ce topic:
Une définition incomprise, intégrabilité d'une v.a.r
Hello Tigweg !
Pour les a, il est effectivement possible que je dise une bêtise, mais ce n'était pas une erreur de frappe. Je ne travaille pas sur B(R) mais uniquement sur les boréliens de [a,b], donc je pensais que c'était bon. Mais je tarte peut-être complètement, je n'ai pas suffisamment de notions là-dessus.