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Niveau Maths sup
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espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes

Posté par
solaris
14-04-08 à 10:57

Bonjour à tous, je bloque sur la première question du DM, si quelqu'un à une idée...


Pour n on définit l'ensemble
                      n                            
En={fC| (k parmi n).f(k)=0}.
                     k=0

Avec les notations suivantes :

f0=f, pour k1 f(k) désigne la dérivée kième  de f et 0 la fonction nulle.


1. Montrer que pour tout n, En est un espace vectoriel.


Je pense qu'il faut le faire par récurrence, mais je ne vois pas trop comment faire...


Merci d'avance.

Posté par
veleda
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 12:01

bonjour,
tu peux montrer que Enest un sous espace
pour tout n
En est
non vide(la foncion 0 est élément de En,
Coo
il reste à vérifier que f et g éléments de En,(a,b)R² h=af+bgEn

Posté par
jeanseb
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 12:06

Bonjour

Bonjour Veleda

Ca marche parce que , comme tu as dû l'apprendre, la dérivation est une opération linéaire, de même que la "dérivation k fois".

C'est cette propriété qui te permettra de démontrer ce que Veleda te propose de démontrer.

Posté par
solaris
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 12:16

Merci beaucoup, il n'y avait donc pas besoin de récurrence....


On me demande un peu plus loin (après avoir montré que fEn g(n)=0  avec g(x) =ex.f(x) pour tout x appartenant à R et n >0 fixé) quelles sont toutes les fonctions indéfiniment dérivables sur R dont la dérivée nième est la fonction nulle ?


Je dirais les fonctions polynomiales de degré inf ou égal à n...

Est-ce juste, et comment le montrer ?

re-merci d'avance

Posté par
solaris
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 15:03

Posté par
Camélia Correcteur
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 15:24

Bonjour

Oui, ce sont bien les fonctions polynôme de degré inférieur à n, mais c'est immédiat par récurrence sur n, donc je ne vois pas trop le rapport avec ton problème!

Posté par
solaris
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 16:11

Je pense que cete question est en rapport avec la suivante:

Pour k entier tel que 0k < n, on désige par fk la fonction définie sur R par x, fk(x)=xk.e-x.

MOntrer que la famille(f0,f1,..,fn-1) est une base de En

Posté par
veleda
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 18:24

rebonjour,
si j'ai bien compris le texte tu as démontré que fEn<=>(f(x)=g(x)e-xet g(n)=0)
donc f est élément de En<=> f(x)=g(x)e-x avec g(x)=\bigsum_{k=0}^{n-1}a_kx^k
donc f(x) s'ecrit\bigsum_{k=0}^{n-1}a_kx^ke^{-x}= \bigsum_{k=0}^{n-1}f_{k}(x)
on en déduit que la famille (f_0,f_1,.....f_{n-1})est génératrice de En
il reste à vérifier qu'elle est libre

Posté par
veleda
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 14-04-08 à 18:26

j'ai oublié le coefficient akdevant fk(x)

Posté par
Supco
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 17-04-08 à 15:13

comment t'as fait pour montrer que car c'est nécessaire pour la suite
f appartient à En g(n)=0  avec g(x) =ex.f(x)

Posté par
solaris
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 17-04-08 à 15:57

je ne suis pas sur mais voila ce que j'ai fait :

                        n
g(n)(x)=0 (k parmi n).f(k).(ex)(n-k) =0
                       k=0
                 n
exp(x).(k parmi n).f(k)
                k=0


à partir de là tu devrais pouvoir montrer  ce qui est demandé

Posté par
veleda
re : espace vectoriel, fonctions et dérivées n-ièmes 17-04-08 à 21:23

oui c'est cela et
e^x\bigsum_{k=0}^n n\choose {k}f^k(x) est la dérivée nième de
 e^xf(x)  (formule de leibnitz)
déslée,je pensais que tu avais fait cette question

Posté par
Supco
re 18-04-08 à 10:26

oui celle là n'est pas trop dur en passant l'exp dehors ,



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